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CHAPITRE XVII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Si, en effet, on change $t$ en $t+{\frac {\pi }{2}},$ les solutions

${\begin{aligned}x&=e^{iht}\varphi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\varphi _{2}(t)\end{aligned}}$

deviennent

${\begin{aligned}x&=e^{iht}\psi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\psi _{2}(t)\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}\psi _{1}(t)&=e^{\frac {ih\pi }{2}}\,\varphi _{1}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right),&\psi _{2}(t)&=e^{-{\frac {ih\pi }{2}}}\,\varphi _{2}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$

sont des fonctions périodiques en $t.$ Par conséquent, les exposants caractéristiques ne changent pas.

En même temps, comme

$\cos 2\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos 2t,$

l’équation (1) devient

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}-q_{1}\cos 2t\right),$

ce qui veut dire que les exposants caractéristiques et, par conséquent $\cos h\pi ,$ ne changent pas quand on change $q_{1}$ en $-q_{1}.$ Or cela ne peut avoir lieu que si le développement de $\cos h\pi ,$ ne contient que des puissances paires de $q_{1}.$

Observons maintenant que l’équation (1) ne change pas quand on change $t$ en $-t$ ; il résulte de là que $\mathrm {F} (t)$ est une fonction paire de $t$ et $f(t)$ une fonction impaire, c’est-à-dire que

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&=\mathrm {F} (-t),&f(t)&=-f(-t),\end{aligned}}$

Or les solutions de l’équation (1) sont développables suivant les cosinus et les sinus de $(h+2m)t,$ $m$ étant un entier positif et négatif. IL résulte de là que $\mathrm {F}$ ne contiendra que des cosinus pendant que $f$ ne contiendra que des sinus. On aura

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h+2m)t,\\f(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}\cos(h+2m)t,\end{aligned}}$

$m$ variant de $-\infty$ à $+\infty .$ Il vient alors

${\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}=1,\\\mathrm {F} (\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h\pi +2m\pi )={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos h\pi =\cos h\pi ,\\f'(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)t,\\f'(0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)=1,\\f'(\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)\pi =\cos h\pi .\end{aligned}}$