231
CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Soit de même 
une seconde intégrale particulière telle que
Alors si 
et 
sont les valeurs initiales de 
et de 
pour 
on aura
Notre théorème, c’est alors que 
et seront des fonctions entières de
et de 
Il en est de même de 
et 
Supposons, en particulier, que
il viendra
et
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{ih\pi }\varphi _{1}(\pi )&=x_{0}\mathrm {F} (\pi )&{}+{}&x_{0}'f(\pi ),\\e^{ih\pi }\left[\varphi _{1}'(\pi )+ih\varphi _{1}(\pi )\right]&=x_{0}\mathrm {F} '(\pi )&{}+{}&x_{0}'f'(\pi ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec223eee178666f8f38472cbb792d52197d1a9a0)
Mais la fonction 
est périodique, de sorte qu’on a
d’où
D’où
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} (\pi )-e^{ih\pi }\right]\left[f'(\pi )-e^{ih\pi }\right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0881f3b06b6e49a1ead44a80e492f79ba7082d8)
Ainsi 
est une racine de l’équation en 
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} (\pi )-\mathrm {S} \right]\left[f'(\pi )-\mathrm {S} \right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bfad3a70c677e03df7031d6ec8cdbd46066252)
On verrait de la même manière que l’autre racine est 
Donc la somme des racines est égale à 
de sorte qu’on a
Il en résulte que 
est une fonction entière de et de 
c’est-à-dire que peut être développé suivant les puissances
entières de et de 
et que le développement est toujours convergent.
Je dis maintenant que ce développement ne contient que des
puissances paires de
