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CHAPITRE XVI.

La fonction $v_{0}$ ainsi définie sera notre nouvelle variable indépendante ; elle différera peu de $v$ puisqu’elle satisfera à l’équation

${\frac {d\left(r^{2}{\dfrac {dv_{0}}{dt}}\right)}{dt}}={\frac {\mathrm {Q} _{0}}{r^{2}}},$

tandis que $v$ satisfait à l’équation

${\frac {d\left(r^{2}{\dfrac {dv}{dt}}\right)}{dt}}={\frac {d\Omega }{dv}},$

qui n’en diffère que par l’addition de certains termes que nous avons supposés très petits. Nous poserons donc

$v=v_{0}+\chi .$

Des équations (2) et (3) on tire

(4)

${\sqrt {c_{1}}}\,d{\sqrt {c_{1}}}={\frac {dc_{1}}{2}}=\mathrm {Q} _{0}\,dv_{0}$

Or, nous avons supposé que pour obtenir $\mathrm {Q} _{0}$ on remplaçait dans $\mathrm {Q}$ les coordonnées $u,$ $u'$ et $v'$ par leurs valeurs approchées en fonction de $v,$ puis $v$ par $v_{0}.$

Il en résulte que $\mathrm {Q} _{0}$ est fonction de $v_{0}$ seulement, et que l’équation (4) s’intégrera aisément par quadratures.

La seconde équation (1) devient alors

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\log c_{1}}{dv_{0}}}{\frac {du}{dv_{0}}}+u\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{c_{1}}}={\frac {r^{2}}{c_{1}}}{\frac {d\Omega }{dt}}\cdot$

Il est clair que, $\chi$ étant très petit, ${\frac {dv}{dv_{0}}}$ est très voisin de 1 ; on peut donc remplacer le coefficient $\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}$ par 1, dans une première approximation ; si donc $u_{1}$ est la valeur approchée de $u$ et que nous posions

$u=u_{1}+\rho ,$

nous pourrons définir $u_{1}$ par l’équation

${\frac {d^{2}u_{1}}{dv_{0}^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\log c_{1}}{dv_{0}}}{\frac {du_{1}}{dv_{0}}}+u_{1}+{\frac {\mu }{c_{1}}}={\frac {\mathrm {P} _{0}}{c_{1}}},$