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CHAPITRE VIII.
soient supposées divergentes, le développement se fera par les
règles ordinaires du calcul. Voici ce que j’entends par là.
Soient
et
la somme des
premiers termes de
et
de
Supposons que l’on veuille calculer les
premiers
termes du développement de
et de
Il faut prendre pour ces
premiers termes les
premiers
termes du développement de
![{\displaystyle \psi _{1}(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p})\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84158a90be99b0756111fb96c1c96aa0fc53f55e)
et
![{\displaystyle \quad \psi _{2}(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b3daebee08f6d2d25d7aa5b5d2c4a55a265b72)
Nous obtiendrons ainsi deux séries divergentes que je puis écrire
(3)
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et ces séries sont de même forme que les séries
et ![{\displaystyle \mathrm {S} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6a5d478b50df35bcd429ce34c722483a603b4e)
Je dis que ces deux séries satisferont formellement aux équations (1),
quand on les substituera à la place de
et de
et qu’on
fera ensuite
En effet, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\psi _{1}(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p}),&y&=\psi _{2}(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c607963d24fb6e822d9665a6240ada49f928eda8)
la différence des deux membres des équations (1) devient divisible
par ![{\displaystyle \mu ^{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68271d08fdde676ea8f2581373a3dd102750f039)
D’autre part, si l’on appelle
et
la somme des
premiers termes des séries (3), les différences
![{\displaystyle \Sigma _{p}-\psi _{1}(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p}),\quad \Sigma '_{p}-\psi _{2}(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6b5ed08b1c532c2eed1175ef6728c346c7f32e)
seront divisibles par ![{\displaystyle \mu ^{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68271d08fdde676ea8f2581373a3dd102750f039)
Il est facile d’en conclure que si l’on fait
![{\displaystyle x=\Sigma _{p},\quad y=\Sigma '_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcc515dfd32eaea167ab0490c671d73073b59c7)
la différence des deux membres des équations (1) deviendra divisible
par
C.Q.F.D.
Soit maintenant une équation unique
(4)
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étant fonction de
de
et de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)