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CHAPITRE XVI.

Notre équation devient ainsi

(1)

${\frac {d^{2}u_{1}}{dv_{0}^{2}}}+u_{1}+{\frac {\mu }{c_{0}}}=\varphi (u_{1}).$

Cette équation s’intègre aisément par quadratures. L’interprétation de cette solution approchée est d’ailleurs facile.

Adjoignons à l’équation (1) l’équation

(2)

${\frac {dv_{0}}{d\tau }}=u_{1}^{2}{\sqrt {c_{0}}}.$

Il est clair que, si l’on considère un astre fictif qui, à l’époque $\tau ,$ a pour rayon vecteur $-{\frac {1}{u_{1}}}$ et pour longitude $v_{0},$ cet astre aura le même mouvement que s’il était attiré par une masse fixe située à l’origine, suivant une certaine loi différente de celle de Newton. Cette attraction, néanmoins, ne dépend que de la distance, car elle est manifestement égale à

$\mu u_{1}^{2}-c_{0}u_{1}^{2}\varphi (u_{1}),$

et ${\frac {1}{u_{1}}}$représente précisément la distance de notre astre fictif à l’origine, c’est-à-dire à la masse attirante fictive.

Les variables $t$ et $\tau ,$ correspondant à une même valeur de $v_{0},$ sont liées entre elles par la relation

${\frac {dt}{d\tau }}={\frac {u_{1}^{2}}{u^{2}}}\cdot$

La variable $\tau ,$ qui ne sert guère d’ailleurs qu’à cette interprétation, a reçu le nom de temps réduit.

Quant à l’orbite parcourue par notre astre fictif, elle a reçu le nom d’orbite intermédiaire, parce qu’elle tient, pour ainsi dire, le milieu entre l’orbite réelle et l’orbite képlérienne.

Pour

$\varphi (u)=h\,u^{-3}\quad$ ou $\quad hu^{2},$

$h$ étant une constante, l’intégration de (1) peut se faire par les fonctions elliptiques.