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CHAPITRE XVI.

d’où

(8)

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv={\frac {\alpha ^{2}\mathrm {D} }{1-\lambda ^{2}}}-{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} }{1-\lambda ^{2}}}{\frac {d\rho }{dv}}+{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} '}{1-\lambda ^{2}}}\rho \cdot$

Si dans l’équation (6) nous remplaçons

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

par sa valeur (8), ce qui peut se faire en négligeant les quantités du troisième ordre, l’équation est ramenée au deuxième ordre.

Si $\mathrm {C}$ est une somme de termes de la forme

$\beta \sin(\lambda v+\mu ),$

l’expression

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

sera une somme de termes de la forme

$\alpha \beta \,\mathrm {B} \int \rho \sin(\lambda v+\mu )\,dv,$

et chacun de ces termes pourra être transformé par une formule analogue à (8). L’équation (6) sera ainsi encore ramenée au deuxième ordre.

L’équation (7) n’est vraie qu’aux quantités près du troisième ordre. Si l’on ne veut pas négliger ces quantités, il faut écrire

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha ^{2}\mathrm {D} -\alpha \,\mathrm {B} \int {\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\,\mathrm {C} \,dv+\alpha ^{2}\sigma$

en posant, pour abréger,

$\sigma =\mathrm {B} \int dv\left(\mathrm {CB} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv\right).$

On en déduit, en supposant de nouveau que $\mathrm {C}$ se réduit à un seul terme,

$\mathrm {C} =\beta \sin(\lambda v+\mu ),$

on en déduit, dis-je,

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv={\frac {\alpha ^{2}\mathrm {D} }{1-\lambda ^{2}}}-{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} }{1-\lambda ^{2}}}{\frac {d\sigma }{dv}}+{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} '}{1-\lambda ^{2}}}\rho +{\frac {\alpha ^{2}\sigma }{1-\lambda ^{2}}},$