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CALCUL FORMEL.

$\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ étant des fonctions uniformes de $x,$ $y,$ $t$ et $\mu ,$ développables suivant les puissances de $\mu .$

Changeons de variables en posant

${\begin{aligned}x&=\psi _{1}(\xi ,\eta ),\\y&=\psi _{2}(\xi ,\eta ),\end{aligned}}$

$\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ étant des fonctions de $\xi ,$ $\eta ,$ $t$ et $\mu .$

Les équations différentielles deviendront

(2)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=\mathrm {X} '&{\frac {d\eta }{dt}}&=\mathrm {Y} '\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {dx}{d\xi }}\,\mathrm {X} '+{\frac {dx}{d\eta }}\,\mathrm {Y} ',\\\mathrm {Y} &={\frac {dy}{d\xi }}\,\mathrm {X} '+{\frac {dy}{d\eta }}\,\mathrm {Y} ',\end{aligned}}$

$\mathrm {X} '$ et $\mathrm {Y} '$ seront développables suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ à moins que ${\frac {dx}{d\xi }}{\frac {dy}{d\eta }}-{\frac {dx}{d\eta }}{\frac {dy}{d\xi }}$ ne soit divisible par $\mu ,$ ce que nous ne supposerons pas.

Cela posé, soient

${\begin{aligned}\mathrm {S} &=f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots ,\\\mathrm {S} '&=f'_{0}+\mu f'_{1}+\mu ^{2}f'_{2}+\dots \end{aligned}}$

deux séries divergentes, les $f_{i}$ et les $f'_{i}$ étant des fonctions de $t$ et de $\mu '$ développables en séries convergentes suivant les puissances croissantes de $\mu '.$

Je suppose que ces séries $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ satisfassent formellement aux équations (2) quand on les substitue à la place de $\xi$ et de $\eta$ et qu’on y fait $\mu '=\mu .$

Substituons maintenant dans les deux équations

${\begin{aligned}x&=\psi _{1}(\xi ,\eta ),&y&=\psi _{2}(\xi ,\eta ),\end{aligned}}$

$\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ à la place de $\xi$ et $\eta ,$ et développons ensuite

$\psi _{1}(S,\mathrm {S} '),\quad \psi _{2}(S,\mathrm {S} ')$

suivant les puissances croissantes de $\mu .$ Bien que les séries $\mathrm {S}$ et