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CALCUL FORMEL.
et
étant des fonctions uniformes de
et
développables suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Changeons de variables en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\psi _{1}(\xi ,\eta ),\\y&=\psi _{2}(\xi ,\eta ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4afff4705fa5abdaaec964f9f382edcf51f5f0)
et
étant des fonctions de
et ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Les équations différentielles deviendront
(2)
|
|
|
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {dx}{d\xi }}\,\mathrm {X} '+{\frac {dx}{d\eta }}\,\mathrm {Y} ',\\\mathrm {Y} &={\frac {dy}{d\xi }}\,\mathrm {X} '+{\frac {dy}{d\eta }}\,\mathrm {Y} ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad75a6aad8f135cc62dd84880964c2f112e23471)
et
seront développables suivant les puissances croissantes
de
à moins que
ne soit divisible par
ce que
nous ne supposerons pas.
Cela posé, soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} &=f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots ,\\\mathrm {S} '&=f'_{0}+\mu f'_{1}+\mu ^{2}f'_{2}+\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053276752938705b98d5f6434c38a56ff744e448)
deux séries divergentes, les
et les
étant des fonctions de
et
de
développables en séries convergentes suivant les puissances
croissantes de ![{\displaystyle \mu '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cc619dfccdb610f9f606c257cecdee47148390)
Je suppose que ces séries
et
satisfassent formellement aux
équations (2) quand on les substitue à la place de
et de
et qu’on
y fait
Substituons maintenant dans les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\psi _{1}(\xi ,\eta ),&y&=\psi _{2}(\xi ,\eta ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037025cc96d3da08e454ec9f9c8f19da93e1b697)
et
à la place de
et
et développons ensuite
![{\displaystyle \psi _{1}(S,\mathrm {S} '),\quad \psi _{2}(S,\mathrm {S} ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feed7fb21d1e370914b4877627a6b38166900ab7)
suivant les puissances croissantes de
Bien que les séries
et