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CHAPITRE XVI.

L’équation est redevenue du second ordre.

L’équation (3) est vraie aux quantités près du troisième ordre, je veux dire de l’ordre de $\alpha ^{3}.$ On aura donc, aux quantités près du quatrième ordre,

(4)

$\alpha \,{\frac {d^{2+i}\rho }{dv^{2+i}}}=-\alpha \,{\frac {d^{i}\rho }{dv^{i}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{i}}{dv^{i}}}\left(\mathrm {C} +\mathrm {D} \,{\frac {d\rho }{dv}}+\mathrm {E} \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\right)\cdot$

Si alors on remplace dans le second membre de (1)

$\alpha \,{\frac {d^{4}\rho }{dv^{4}}},\quad \alpha \,{\frac {d^{3}\rho }{dv^{3}}},\quad \alpha \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}$

par leurs valeurs (4), on obtiendra une équation qui sera vraie aux quantités près du quatrième ordre, et qui sera du second ordre.

Et ainsi de suite.

Il est clair que la même méthode est applicable à toute équation de la forme

(5)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+f_{1}=\alpha f_{2},$

{{SA|$\alpha$ étant un coefficient très petit ; $f_{1}$ étant développable suivant les puissances de $\rho$ et de ${\frac {d\rho }{dv}},$ et $f_{2}$ suivant les puissances de

$\rho ,\quad {\frac {d\rho }{dv}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d^{n-1}\rho }{dv^{n-1}}},\quad {\frac {d^{n}\rho }{dv^{n}}}\cdot$

L’équation (5) n’est donc plus linéaire ; mais la seule différence qui peut en résulter, c’est qu’il y aura des termes qui seront de degré supérieur par rapport à $\rho$ et à ses dérivées, et qu’il n’y aura lieu d’en tenir compte qu’à partir de la seconde et de la troisième approximation.

171.Considérons maintenant l’équation suivante

(6)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv\right),$

$\alpha$ étant encore un très petit nombre, $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ des fonctions connues de $v.$ Cette équation, si on la différentiait pour faire dispa-