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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

au deuxième ordre, un procédé dont je voudrais faire comprendre l’esprit.

Considérons d’abord une équation du quatrième ordre, par exemple, et de la forme suivante

(1)

$\;\;{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \left(\mathrm {A} +\mathrm {B} _{4}\,{\frac {d^{4}\rho }{dv^{4}}}+\mathrm {B} _{3}\,{\frac {d^{3}\rho }{dv^{3}}}+\mathrm {B} _{2}\,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\mathrm {B} _{1}\,{\frac {d\rho }{dv}}+\mathrm {B} _{0}\rho \right),$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions connues de $v$ que je supposerai finies et $\alpha$ un coefficient très petit.

L’équation nous montre d’abord que, si les valeurs initiales de $\rho$ et de ${\frac {d\rho }{dv}}$ sont de l’ordre de $\alpha ,$ ce que nous supposerons, $\rho$ restera de l’ordre de $\alpha .$

Si nous négligions donc les termes de l’ordre de $\alpha ^{2},$ nous pourrions écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \mathrm {A}$

et l’équation serait ramenée au second ordre.

Mais nous voulons tenir compte des termes de l’ordre de $\alpha ^{2},$ en négligeant ceux de l’ordre de $\alpha ^{3}.$ Il vient, avec ce degré d’approximation,

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\alpha \,{\frac {d^{4}\rho }{dv^{4}}}&=-\alpha \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dv^{2}}},\\\alpha \,{\frac {d^{3}\rho }{dv^{3}}}&=-\alpha \,{\frac {d\rho }{dv}}+\alpha ^{2}{\frac {d\mathrm {A} }{dv}},\\\mathrm {A} \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}&=-\alpha \rho +\alpha ^{2}\mathrm {A} .\end{aligned}}\right.$

J’arrive à ce résultat, en multipliant l’équation (1) par $\alpha$ et y négligeant les termes qui sont devenus de l’ordre de $\alpha ^{3}$ par cette multiplication.

L’équation (1) devient alors

(3)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \mathrm {C} +\alpha \mathrm {D} {\frac {d\rho }{dv}}+\alpha \mathrm {E} \rho ,$

où

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} _{4}\left({\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dv^{2}}}-\mathrm {A} \right)+\mathrm {B} _{3}{\frac {d\mathrm {A} }{dv}}+\mathrm {B} _{2}\mathrm {A} ,\\\mathrm {D} &=\mathrm {B} _{1}-\mathrm {B} _{3},\\\mathrm {E} &=\mathrm {B} _{4}-\mathrm {B} _{2}+\mathrm {B} _{0}.\end{aligned}}$