On trouve ainsi
et étant des constantes d’intégration.
Quant à la relation entre et elle a une forme compliquée. Il vient
équation que l’on peut intégrer par quadratures. On en tirera ensuite en fonction de si l’on développe suivant les puissances croissantes des constantes et qui sont généralement très petites, le premier terme du développement, celui qui est indépendant de ces quatre constantes, se réduit à une fonction linéaire de
La relation entre et est donc compliquée dès la première approximation. C’est là une difficulté un peu artificielle et d’un genre tout nouveau ; elle tient d’ailleurs au choix des variables indépendantes et elle ne disparaîtra pas quand je quitterai les procédés inspirés des méthodes anciennes, pour les méthodes proprement dites de M. Gyldén.
Nous n’avons rien rencontré de pareil dans l’étude des méthodes de M. Newcomb ; mais il ne faut toutefois pas s’exagérer l’importance de ce fait. Le développement de la fonction perturbatrice exigera toujours de longs calculs ; cependant, on l’obtiendra plus vite en fonction des anomalies vraies qu’en fonction des anomalies moyennes. Dans la méthode de M. Newcomb, nous avons supposé la fonction perturbatrice exprimée à l’aide des éléments osculateurs des deux planètes et de leurs anomalies moyennes. Pour l’obtenir ainsi, il aurait fallu de longs efforts, mais dès qu’on la possède tous les obstacles sont aplanis. Ici, au contraire, nous avons exprimé en fonction de et ce qui est incomparablement plus facile. Mais la difficulté que nous avions ainsi écartée pour un moment devait forcément reparaître. La relation compliquée qui lie à est la première forme sous laquelle nous la
