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CHAPITRE XV.

Les équations (α) et (γ) deviennent alors

(α′)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {B} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {A} _{k}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

(γ′)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}-{\frac {d\lambda }{dt}}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {X} _{k}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

avec d’autres équations analogues où $w_{k},$ $\mathrm {X} _{i}^{k},$ $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ sont remplacés par les mêmes lettres accentuées.

D’autre part, (8 a), (8 b) et (8 c) étant supposées satisfaites, il vient

$\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {B} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.$

La combinaison de toutes nos équations nous donnera alors

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\right)+\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}$

avec une autre équation où $w_{k}$ et $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ sont remplacés par les mêmes lettres accentuées.

Nous avons là un système d’équations linéaires d’où l’on pourra tirer

${\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\quad$ et $\quad X_{i}-\mathrm {A} _{i}.$

Pour $\mu =0,$ que deviennent les coefficients de ces équations et leur déterminant ?

Les dérivées de ${\frac {d\lambda }{dw_{k}}}$ s’annulent, sauf ${\frac {d\lambda }{dw_{1}}}$ et ${\frac {d\lambda '}{dw_{2}}}$ qui se réduisent à 1. Les $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ s’annulent. Quant à

$\mathrm {Y} _{i}'^{k}={\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\sin w_{i}'-{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cos w_{i}'$

il est indépendant de $w_{1}$ et $w_{2}.$

Le déterminant et ses mineurs est donc indépendant des $w$ pour $\mu =0\,;$ de plus, ce déterminant ne s’annule pas.

Il vient donc

$\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

ce qui veut dire que (7 a), (7 b), (7 e) sont satisfaites. C.Q.F.D.