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CALCUL FORMEL.

Il n’y aurait d’exception que si la solution particulière

${\begin{aligned}x_{1}&=\theta _{1}(t,0),&x_{2}&=\theta _{2}(t,0),&&\dots ,&x_{n}&=\theta _{n}(t,0),&\mu =0\end{aligned}}$

allait, pour l’une des valeurs de $t$ que l’on a à considérer, passer par un des points singuliers de l’équation différentielle (j’appelle ainsi, comme dans le Chap. II, n^o 27, les systèmes de valeurs de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n},$ $t$ et $\mu$ pour lesquels les $\mathrm {X} _{i}$ cessent d’être des fonctions holomorphes).

On pourra donc, ainsi que nous l’avons vu au n^o 27, trouver deux nombres positifs $\mathrm {M}$ et $\alpha$ tels que

$\mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}\ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (\mu +\mu ^{p+1}\xi _{1}+\dots +\mu ^{p+1}\xi _{n})}}\arg(\mu ,\xi _{k}).$

Mais par hypothèse les séries $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\dots ,$ $\mathrm {S} _{n}$ satisfont formellement aux équations (3). Cela veut dire que si l’on fait

$\xi _{1}=\xi _{2}=\dots =\xi _{n}=0,$

d’où

$x_{i}=\varphi _{p,i},$

les différences $\mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}$ deviendront divisibles par $\mu ^{p+1}.$ Nous avons donc

(5)

$\mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}\ll {\frac {\mathrm {M} \mu ^{p+1}(\alpha ^{p}+\xi _{1}+\xi _{2}+\dots +\xi _{n})}{1-\alpha (\mu +\mu ^{p+1}\xi _{1}+\dots +\mu ^{p+1}\xi _{n})}}\cdot$

Si nous appelons pour abréger $\mu ^{p+1}\mathrm {Z}$ le second membre de l’inégalité (5), et que nous posions

$\mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}=\mu ^{p+1}\mathrm {Y} _{i},$

les équations (3) deviendront

(6)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\mathrm {Y} _{i},$

avec la condition

$\mathrm {Y} _{i}\ll \mathrm {Z} .$

Considérons la solution particulière des équations (6) qui est