Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/206

192

CHAPITRE XV.

vont s’écrire respectivement

(δ)

$\mathrm {X} _{i}=\mathrm {A} _{i},$

(ε)

$\mathrm {Y} _{i}=\mathrm {B} _{i},$

L’équation (β) deviendra

(β′)

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {X} _{i}\right)=0$

et l’équation (γ) deviendra

(γ′)

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {B} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {A} _{i}\right)=0.$

Je dis que de (ε), (β′) et (γ′) on peut déduire (δ), et en effet de (β′) et (ε) on déduit

(ζ)

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {B} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {X} _{i}\right)=0$

ou enfin

(θ)

${\textstyle \sum }_{i}\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=0\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Comme le déterminant des $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ n’est pas nul, on déduira de là

$\mathrm {X} _{i}=\mathrm {A} _{i}.$

C.Q.F.D.

Supposons maintenant que les équations (4) soient vraies aux termes près d’ordre $p+1$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et les équations (5) et (6) aux termes près d’ordre $p+2.$

Alors les équations (α), (β), (γ), (β′) et (γ′) seront vraies aux termes près d’ordre $p+2,$ (ε) aux termes près d’ordre $p+1.$ Comme le développement de $\mathrm {X} _{i}^{k}$ commence par des termes de premier ordre, en multipliant (ε) par $\mathrm {X} _{i}^{k},$ on obtiendra une équation qui sera vraie aux termes près d’ordre $p+2.$

Il suit de là que (ζ) et (θ) seront satisfaites aux termes près d’ordre $p+2.$ Je dis qu’il en résulte que (δ) le sera aux termes près de l’ordre $p+1.$

En effet, posons pour un instant

$\alpha _{i}=\lambda \alpha _{i}'$

de telle façon que les termes d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ deviennent divisibles par $\lambda ^{p}.$