étant divisible par et il sera permis d’en conclure que
est égal à une fonction de même forme pourvu que le déterminant des ne soit pas divisible par Or c’est précisément ce qui arrive, car il se réduit à 1 pour
Donc les équations (2) sont satisfaites aux termes en près.
C.Q.F.D.
Arrivons maintenant au problème du no 161 ; le raisonnement qui précède s’y appliquera sans changement, mais nous devons encore nous poser une autre question.
Outre les équations déduites de (1 bis), (2), (4), (6) en égalant dans les deux membres les coefficients de nous avons encore à envisager celles que l’on peut obtenir en égalant les valeurs moyennes des deux membres.
Je suppose que les équations (1 bis), (4) et (6) soient satisfaites aux termes près en Il en résultera, ainsi que nous venons de le voir, qu’il en sera de même de l’équation (2).
Je suppose de plus que l’on ait satisfait aux équations obtenues de la manière suivante : dans les équations (1 bis), (4) et (6) égalons les coefficients de et prenons ensuite les valeurs moyennes des deux membres. S’ensuivra-t-il que L’équation tirée de (2) par le même procédé sera également satisfaite ?
Nous pouvons exprimer nos hypothèses de la manière suivante : les équations (1 bis), (4) et (6) ne sont pas satisfaites exactement, mais la différence des deux membres est une fonction périodique des et des développable suivant les puissances de divisible par et dont la valeur moyenne prise par rapport aux est divisible par
Je désignerai par toute fonction satisfaisant à ces conditions. Il résulte de là que la somme de deux fonctions est une fonction que la dérivée de par rapport à ou est une fonction Si enfin nous multiplions par une fonction périodique en et développable suivant les puissances de le produit sera encore une fonction pourvu que, pour
