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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

et des équations précédemment satisfaites

(4 a), (4 b), (1 a), (7 a), (8 a), (6 a), (6 b).

Cela est presque évident et J’y reviendrai plus loin. On en déduirait ensuite sans peine (7 b) et (8 b).

Comme, d’autre part,

$\mathbb {S} \,n_{k}^{1}{\frac {d\lambda _{0}}{dw_{k}}}=n_{1}^{1}$

est connu par (1 c), l’équation (1 b) peut s’écrire

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}=\Phi .$

La valeur moyenne de $\Phi$ étant nulle d’après (1 c), cette équation nous donnera

$\lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}$

On obtiendrait de même

$\lambda _{1}'-{\big [}\lambda _{1}'{\big ]}$

Considérons maintenant dans nos équations les termes du second degré en $\mu .$ D’abord, l’équation (4 bis) donnera

(4 d)

$\;\;\mathbb {S} \,n_{1}^{0}\Lambda _{2}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\sigma _{i}^{1}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}}}\tau _{i}^{1}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\lambda _{0}}}\lambda _{1}+\Phi +\mathrm {const.}$

De même, l’équation (6 bis) donnera

(6 d)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}&=\mathbb {S} \,\Lambda _{2}{\frac {d\lambda _{0}}{dw_{k}}}+\mathbb {S} \,\Lambda _{1}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}\\&+{\textstyle \sum }\,\left[\sigma _{i}^{2}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}+\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}+\sigma _{i}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{2}}{dw_{k}}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{2}\right)}{dw_{k}}}\right]\cdot \end{aligned}}\right.$

Prenons les valeurs moyennes des deux membres. Je dis que la valeur moyenne du second membre se réduira à

${\big [}\Lambda _{2}{\big ]}+\Phi .$

En effet, nous connaissons $\Lambda _{1}$ et $\lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}$ et par conséquent ${\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}\,;$ on verrait, comme quand nous avons traité l’équation (6 b), que

$\left[\sigma _{i}^{2}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}\right]=\left[\sigma _{i}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{2}}{dw_{k}}}\right]=\left[{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{2}\right)}{dw_{k}}}\right]=0.$