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CHAPITRE XV.

Venons maintenant aux équations (7) et (8) ; elles nous donneront

(7 b)

$\;\;{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}^{0}}}\cos w_{i}'-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}^{0}}}\sin w_{i}'-n_{i}'^{1}y_{i}^{0},$

(8 b)

$\;\;{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}^{0}}}\sin w_{i}'+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}^{0}}}\cos w_{i}'+n_{i}'^{1}x_{i}^{0}$

ou, en prenant les valeurs moyennes des deux membres et remarquant que $x_{i}^{0},$ $y_{i}^{0},$ $\sigma _{i}^{0},$ $\tau _{i}^{0}$ ne dépendent que des $w',$

(7 c)

$\mathbb {S} \,\,n_{k}'^{1}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}'}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}}}\cos w_{i}'-{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}\sin w_{i}'-n_{i}'^{1}y_{i}^{0},$

(8 c)

$\mathbb {S} \,\,n_{k}'^{1}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}'}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}}}\sin w_{i}'-{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}\cos w_{i}'+n_{i}'^{1}x_{i}^{0},$

Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les $\mathrm {S} _{0}$ les $\sigma _{i}^{0},$ les $\tau _{i}^{0}$ et les $n_{k}'^{1}\,;$ l’analogie avec le problème du n^o 159 est en effet évidente.

On passe du problème actuel à celui du n^o 159, en changeant respectivement

$\sigma _{i}^{0},\quad \tau _{i}^{0},\quad x_{i}^{0},\quad y_{i}^{0},\quad n_{k}'^{1},\quad w_{k}',\quad \mathrm {R} ,\quad \mathrm {S} _{0}$

en

$\xi _{i},\quad \eta _{i},\quad x_{i},\quad y_{i},\quad n_{k},\quad w_{k},\quad \mathrm {F} ,\quad \mathrm {S} .$

Les équations (4 c), (7 c), (8 c) sont alors respectivement équivalentes aux équations (5), (3) et (4) du n^o 159. De même l’équation (6 a′) obtenue en changeant dans (6 a) $w_{k}$ en $w_{k}'$ est équivalente à l’équation (6) du n^o 159.

Il est vrai que $\mathrm {R}$ dépend non seulement des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0},$ mais encore de $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'.$ Mais ces quantités, comme nous l’avons vu, doivent se réduire à des constantes.

Les procédés du n^o 159 sont donc applicables et nous donneront

$\sigma _{i}^{0},\quad \tau _{i}^{0},\quad n_{k}'^{1},\quad \mathrm {S} _{0}.$

D’après l’équation (4 e), $\mathrm {R}$ se réduit à une constante et cette constante devra dépendre des $\alpha _{i},$ des $\Lambda _{0}$ et des $\Lambda _{0}',$ qui sont nos constantes d’intégration.