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CHAPITRE XV.

Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres, en observant que

$\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\right]={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}=0\,;$

il vient

(12 b)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {d{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\Phi -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}{\big [}x_{k}^{p}{\big ]}-n_{i}^{p}.$

Nous avons trouvé plus haut

(10 c)

${\big [}x_{k}^{p}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.} \,;$

ce qui signifie que, la constante du second membre pouvant être choisie arbitrairement, ${\big [}x_{k}^{p}{\big ]}$ est connue. On a donc

(12 c)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {d{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\Phi -n_{i}^{p}.$

On profitera de $n_{i}^{p}$ pour annuler la valeur moyenne du deuxième membre et cette équation (12 c) s’intégrera sans peine et nous donnera ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}.$

On calculerait de même $n_{i}'^{p}$ et ${\big [}y_{i}'^{p-1}{\big ]},$ de sorte que $x_{i}^{p-1},$ $x_{i}'^{p-1},$ $y_{i}^{p-1},$ $y_{i}'^{p-1},$ sont maintenant entièrement connus.

Les équations (9 bis) et (10 bis) peuvent alors s’écrire

(9 e)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{p}=\mathbb {S} \,n_{k}^{0}x_{k}^{p}=\Phi +\mathrm {const.} ,$

(10 e)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p}+\Phi ,$

(10 f)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}'}}=x_{k}'^{p}+\Phi ,$

d’où l’équation

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.} ,$

qui détermine $\mathrm {S} _{p}$ à une fonction inconnue près des $w'$ (car nous avons plus haut choisi ${\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}$ de façon que la valeur moyenne du deuxième membre se réduise à une constante) ; ou, en d’autres termes, qui détermine

$\mathrm {S} _{p}-{\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]}.$