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CALCUL FORMEL.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

seulement indépendantes de $\mu$ (c’est ce qui arrivait dans l’exemple qui précède) ou bien dépendre à la fois de $x$ et de $\mu .$

Posons

$\varphi _{p}=f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots +\mu ^{p}f_{p}.$

Si l’on a

$\lim {\frac {\varphi -\varphi _{p}}{\mu ^{p}}}=0,\quad \mathrm {pour} \quad \mu =0,$

je dirai que la série (1) représente asymptotiquement la fonction $\varphi$ et j’écrirai

(2)

$\varphi (x,\mu )=f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots \,;$

j’appellerai les relations de la forme (2) égalités asymptotiques.

Il est clair que, si $\mu$ est très petit, la différence $\varphi -\varphi _{p}$ sera aussi très petite et, bien que la série (2) soit divergente, la somme de ses $p+1$ premiers termes représente très approximativement la fonction $\varphi .$

Les astronomes diraient que cette série est convergente et représente la fonction $\varphi .$

Les astronomes ont continué de rechercher des séries qui satisfont formellement aux équations différentielles proposées, sans se préoccuper de leur convergence. Cette manière de faire semble d’abord tout à fait illégitime et pourtant elle les conduit souvent au but.

Pour s’expliquer ce fait, il est nécessaire d’examiner la question de plus près et c’est ce que je me propose de faire.

Introduisons quelques définitions nouvelles.

Considérons un système d’équations différentielles

(3)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Je suppose que $\mathrm {X} _{i}$ soit une fonction uniforme de $t,$ de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}$ et d’un paramètre $\mu$ et soit développable suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Considérons maintenant $n$ séries divergentes que j’écrirai

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}\mathrm {S} _{1}&=f_{0,1}&{}+{}&\mu f_{1,1}&{}+{}&\mu ^{2}f_{2,1}&{}+{}&\dots ,\\\mathrm {S} _{2}&=f_{0,2}&{}+{}&\mu f_{1,2}&{}+{}&\mu ^{2}f_{2,2}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}\\.\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\{\begin{alignedat}{4}\mathrm {S} _{n}&=f_{0,n}&{}+{}&\mu f_{1,n}&{}+{}&\mu ^{2}f_{2,n}&{}+{}&\dots .\end{alignedat}}\end{array}}$