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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

L’équation (10 d) et l’équation analogue

${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p-1}+\Phi$

achèvent alors la détermination de $x_{k}^{p-1}$ et $x_{k}'^{p-1}.$

Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes de degré $p,$ il viendra

(12 bis)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}+n_{i}^{p}=\Phi +\mathrm {A} +\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ représentant le coefficient de $\mu ^{p}$ dans $-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},$ et $\mathrm {B}$ celui de $\mu ^{p-1}$ dans $-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}}\cdot$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que des $x_{i},$ qui sont maintenant entièrement connus jusqu’aux $x_{i}^{p-1}$ inclusivement. Nous pourrons donc écrire

$\mathrm {A} =\Phi -\mathbb {S} \,{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{p}.$

De même les $x_{i}^{p-1}$ étant entièrement connus, nous aurons

$\mathrm {B} =\Phi -{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\,y_{k}^{p-1},$

ou même, puisque nous connaissons

$y_{k}^{p-1}-{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]},$

$\mathrm {B} =\Phi -{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\,{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]}.$

D’autre part, les $n_{k}'^{0}$ sont nuls, et comme $y_{i}^{p-1}$ est connu à une fonction arbitraire près des $w',$ on a

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}=\mathbb {S} \,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}},$

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}'}},$

d’où

(12 a)

$\left\{{\begin{aligned}\mathbb {S} \,&n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}+\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}'}}+n_{i}^{p}\\&=\Phi -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{p}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]}.\end{aligned}}\right.$