Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/186

172

CHAPITRE XV.

les $x_{i}$ et les $x_{i}'.$ Si nous prenons les valeurs moyennes des deux membres, il viendra, puisque

$\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,$

il viendra, dis-je,

${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}=\mathrm {const.}$

Mais ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]},$ c’est $\mathrm {R}$ qui ne dépend que des $x_{i}^{0}$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ comme ce sont là des constantes arbitraires, la constante du second membre est également arbitraire et l’équation (9 b) s’intégrera sans difficulté.

Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes du premier degré, il viendra

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+n_{i}^{1}=-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{1}-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\cdot$

Le second membre est entièrement connu ; en effet, le second terme ne dépend que des $x_{i}^{0}$ et des $y_{i}^{0}=w_{i}\,;$ le premier dépend en outre des $x_{k}^{1}$ (et non des $x_{k}'^{1},$ puisque $\mathrm {F} _{0}$ par hypothèse ne dépend pas des $x_{i}'$) ; mais ces quantités sont égales aux ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}$ qui sont connues, puisque $\mathrm {S} _{1}$ a été déterminée à une fonction arbitraire près des $w_{k}'.$

En outre, la valeur moyenne de ce second membre, prise par rapport aux $w_{i}$ seulement, est une constante.

En effet, cette valeur moyenne est égale à

$-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}-{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}\cdot$

Or

${\begin{aligned}{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dw_{i}^{0}}}&=\mathrm {const.} ,\end{aligned}}$

puisque $\mathrm {R}$ ne dépend que des $x_{i}^{0}$ et des $x_{i}'^{0}$ qui sont, des constantes,

Donc la valeur moyenne de ce second membre étant une constante, nous pourrons y égaler $n_{i}^{1}.$ On calculerait de même $n_{i}'^{1},$