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CHAPITRE XV.

Supposons maintenant qu’on revienne aux équations numérotées (1) à (6) et que l’on envisage dans les équations (1) à (4) les termes de degré 0 par rapport aux $\alpha _{i},$ et dans les équations (5) et (6) les termes de degré 0 ou 1 par rapport aux $\alpha _{i},$ on obtiendra des équations dont la forme différera un peu de celle des équations numérotées (7) à (14) sur lesquelles par conséquent il est nécessaire de revenir.

Cette différence de forme provient d’abord de ce que $n_{i}^{p-1.q}$ est nul si $p=0,$ et, d’autre part, de ce que, $\xi _{i}^{0.q}$ et $\eta _{i}^{0.q}$ étant des constantes,

$\Delta \xi _{i}^{0.q}=\Delta \eta _{i}^{0.q}=0.$

Il nous suffira d’ailleurs de considérer les équations (1), (2), (5) et (6) dont (3) et (4) se déduisent immédiatement. Posons, pour abréger,

${\begin{aligned}\xi _{i}^{0}&=\xi _{i}^{0.1}+\xi _{i}^{0.2}+\ldots ,\\\xi _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1.0}+\xi _{i}^{1.1}+\xi _{i}^{1.2}+\ldots .\end{aligned}}$

Définissons de même $\eta _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{1}$ et soit $\mathrm {F} ^{\star }$ le résultat de la substitution de $\xi _{i}^{0}$ et de $\eta _{i}^{0}$ dans $\mathrm {F}$ à la place de $\xi _{i}$ et $\eta _{i}.$

Les termes de degré 0 de (1) et (2) nous donneront

${\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}=0.$

Ces deux équations nous permettront de déterminer par récurrence les $\xi _{i}^{0.q}$ et $\eta _{i}^{0.q}.$

Les termes de degré 0 et 1 de (5) nous donneront

$\mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {const.}$

${\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}\xi _{i}^{1}+{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}\eta _{i}^{1}=\mathrm {const.}$

La première de ces deux équations nous permet de déterminer la constante du deuxième membre [qui ne peut pas être choisie arbitrairement comme pouvait l’être la constante de l’équation (8) quand on supposait $p>1$].

La seconde équation est satisfaite d’elle-même et la constante du deuxième membre doit être nulle, puisque les deux dérivées de $\mathrm {F} ^{\star }$ sont nulles.