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CHAPITRE XV.

Mais je suppose que le développement de $\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,$ commence par des termes du premier degré.

Je me propose de développer

$\xi _{i},\quad \eta _{i},\quad x_{i},\quad y_{i},\quad n_{k},\quad \mathrm {S} ,$

non plus seulement suivant les puissances des constantes $\alpha _{i},$ mais suivant les puissances de ces constantes et celles de $\mu .$

Je désigne par

$\xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p.q},\quad \mathrm {S} _{p.q},$

les termes de ces développements qui sont de degré $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et de degré $q$ par rapport à $\mu .$

J’aurai d’ailleurs

$\xi _{i}^{0.0}=\eta _{i}^{0.0}=0,$

${\begin{aligned}\xi _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\sin w_{i},\end{aligned}}$

$n_{k}^{0.0}=-2\mathrm {A} _{k}.$

On aura d’ailleurs

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}-{\textstyle \sum }\,d\left(\xi _{i}^{1.0}\eta _{i}\right),$

d’où

${\begin{array}{c}\mathrm {S} _{0.0}=\mathrm {S} _{1.0}=0,\\[1em]\mathrm {S} _{2.0}=-{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}w_{i}-{\frac {3}{4}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}\sin 2w_{i}.\end{array}}$

Supposons alors que l’on ait calculé

${\begin{array}{c}\xi _{i}^{a.b},\quad \eta _{i}^{a.b},\quad x_{i}^{a.b},\quad y_{i}^{a.b},\quad n_{k}^{a-1.b},\quad \mathrm {S} _{a+1.b}\\[0.5ex](a\leq p,\quad a+b\leq p+q),\end{array}}$

à l’exception de la combinaison $a=p,$ $b=q$ et qu’on se propose de calculer

$\xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p-1.q},\quad \mathrm {S} _{p+1.q}$

Reprenons les équations (1), (2), (3), (4), (5), (6). Égalons dans les deux membres de (4) les termes d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et d’ordre $q$ par rapport à $\mu .$ Égalons de même dans (5) et (6) les termes d’ordre $p+1$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et $q$ par rapport à $\mu .$