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CHAPITRE XV.
Mais je suppose que le développement de
commence
par des termes du premier degré.
Je me propose de développer
![{\displaystyle \xi _{i},\quad \eta _{i},\quad x_{i},\quad y_{i},\quad n_{k},\quad \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21353bb2a627da561091cc4924a4f6a9fd7bbe8)
non plus seulement suivant les puissances des constantes
mais
suivant les puissances de ces constantes et celles de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Je désigne par
![{\displaystyle \xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p.q},\quad \mathrm {S} _{p.q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860bb6c6678e628934801b65a5799f759c2afaf9)
les termes de ces développements qui sont de degré
par rapport
aux
et de degré
par rapport à ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
J’aurai d’ailleurs
![{\displaystyle \xi _{i}^{0.0}=\eta _{i}^{0.0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594c54515f894e7509a67a916952da4110a40993)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\sin w_{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbefc106baa159e5fb11be07094e6693f63ebd35)
![{\displaystyle n_{k}^{0.0}=-2\mathrm {A} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3311fd76f11954160d72a89e356b654e1f1ec5)
On aura d’ailleurs
![{\displaystyle d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}-{\textstyle \sum }\,d\left(\xi _{i}^{1.0}\eta _{i}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd4dbe2495fa08b3ff045404f792013fe702db2)
d’où
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\mathrm {S} _{0.0}=\mathrm {S} _{1.0}=0,\\[1em]\mathrm {S} _{2.0}=-{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}w_{i}-{\frac {3}{4}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}\sin 2w_{i}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dc8071fe9895123d485ccd49e90812b63f80c8)
Supposons alors que l’on ait calculé
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\xi _{i}^{a.b},\quad \eta _{i}^{a.b},\quad x_{i}^{a.b},\quad y_{i}^{a.b},\quad n_{k}^{a-1.b},\quad \mathrm {S} _{a+1.b}\\[0.5ex](a\leq p,\quad a+b\leq p+q),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d42c6ddbc9f3121d19bf949cfc4a6e6f601fc09)
à l’exception de la combinaison
et qu’on se propose
de calculer
![{\displaystyle \xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p-1.q},\quad \mathrm {S} _{p+1.q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593d5cb7f931d87039e9a86dd1e5f2212cc31df3)
Reprenons les équations (1), (2), (3), (4), (5), (6). Égalons
dans les deux membres de (4) les termes d’ordre
par rapport
aux
et d’ordre
par rapport à
Égalons de même dans (5)
et (6) les termes d’ordre
par rapport aux
et
par rapport
à