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CHAPITRE VIII.

on voit que, si ${\frac {\mu }{1-w}}$ est très petit, les premiers termes décroissent très rapidement, bien que les suivants croissent au delà de toute limite.

Cette série (2) représente-t-elle approximativement la fonction $\varphi (w,\mu )\,?$

Pour nous en rendre compte, posons

$\varphi _{p}(w,\mu )=\mathrm {A} _{0}-\mathrm {A} _{1}\mu +\mathrm {A} _{2}\mu ^{2}-\dots +\mathrm {A} _{p}\mu ^{p}\,;$

je dis que

$\lim {\frac {\varphi -\varphi _{p}}{\mu ^{p}}}=0,\quad \mathrm {pour} \quad \mu =0.$

On trouve, en effet,

${\frac {\varphi -\varphi _{p}}{\mu ^{p}}}=(-1)^{p+1}\mu \sum {\frac {n^{p+1}w^{n}}{1+n\mu }}\,;$

il est aisé de voir que la série

$\sum {\frac {n^{p+1}w^{n}}{1+n\mu }}$

converge uniformément ; on a donc pour $\mu =0$

$\lim \sum {\frac {n^{p+1}w^{n}}{1+n\mu }}=\textstyle \sum n^{p+1}w^{n}={}$ quantité finie,

et, par conséquent,

$\lim {\frac {\varphi -\varphi _{p}}{\mu ^{p}}}=0.$
C.Q.F.D.

Calcul de ces séries.

120.Nous sommes donc conduit à envisager une relation d’une nature nouvelle qui peut exister entre une fonction de $x$ et de $\mu ,$ que nous appellerons $\varphi (x,\mu )$ et une série divergente ordonnée suivant les puissances de $\mu$

(1)

$f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots +\mu ^{p}f_{p}+\dots ,$

où les coefficients $f_{0},\,f_{1},\,\dots$ peuvent être des fonctions de $x$