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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

cette valeur doit, bien entendu, être divisible par $\alpha _{k}$ et, en effet, je dis que ${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dx_{k}}}$ et $\Phi$ sont divisibles par $\alpha _{k}.$

J’observe que si $\psi$ est une fonction développable suivant les puissances des $\alpha _{i}\cos w_{i}$ et $\alpha _{i}\sin w_{i}$ et qu’on développe cette fonction en série trigonométrique, le coefficient du cosinus ou du sinus de

$m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n},$

dans ce développement, sera divisible par

$\alpha _{1}^{|m_{1}|}.\alpha _{2}^{|m_{2}|}.\ldots .\alpha _{n}^{|m_{n}|}.$

Donc, les coefficients des termes dépendant de $w_{k}$ sont divisibles par $\alpha _{k}\,;$ donc ${\frac {d\varphi }{dw_{k}}}$ est divisible par $\alpha _{k}.$

Or

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}=\beta _{k}+{\frac {d\mathrm {S} _{p+1}'}{dw_{k}}}$

et $\beta _{k}$ a été choisi divisible par $\alpha _{k}$ et ${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}'}{dw_{k}}}$ doit l’être aussi d’après ce que nous venons de voir. Donc il en est de même de ${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}\cdot$

D’autre part, $\Phi$ est une somme de termes ; chacun de ces termes est le produit de facteurs dont l’un est de la forme

${\frac {d\xi _{i}^{p}}{dw_{k}}}\quad$ ou $\quad {\frac {d\eta _{i}^{p}}{dw_{k}}},$

et est par conséquent divisible par $\alpha _{k}.$

Donc $\Phi$ est également divisible par $\alpha _{k}.$

C.Q.F.D.

160.Supposons que $\mathrm {F}$ dépende d’un paramètre très petit $\mu$ et soit

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .$

Je suppose toujours que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances des $\xi _{i}$ et des $\eta _{i},$ que le développement de $\mathrm {F} _{0}$ commence par des termes du deuxième degré et que ces termes s’écrivent

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\eta _{i}\right)^{2}.$