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CHAPITRE XV.

D’autre part, l’expression

(5)

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}$

doit être une différentielle exacte et, comme les $x_{i}^{0}$ sont des constantes, il doit en être de même de

${\textstyle \sum }\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right)\,dy_{i}=d\mathrm {S} ,$

ce qui donne

(6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right){\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\cdot$

Je dis maintenant que les équations (2) sont une conséquence des équations (1), (3), (4) et (6). En effet, les équations (6) signifient que l’expression (5) est une différentielle exacte et les conditions d’intégrabilité de cette expression peuvent s’écrire

(7)

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {dx_{i}}{dw_{q}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{q}}}\right)=0.$

Multiplions cette équation par $n_{q}\,;$ puis, conservant à $k$ une valeur constante, faisons successivement $q=1,\,2,\,\ldots ,\,n.$

Enfin ajoutons les $n$ équations ainsi obtenues ; il viendra, en tenant compte de (3),

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=0$

ou, en tenant compte de (1),

(8)

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dw_{i}}{dw_{k}}}=0.$

Différentions maintenant (4) par rapport à $w_{k},$ il viendra

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=0$

ou, en rapprochant de (8),

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

d’où

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\cdot$
C.Q.F.D.