Voici comment on doit opérer.
Choisissons nos constantes d’intégration et les valeurs moyennes des divers termes des développements (4) et (17) de telle sorte : 1o que les quantités
aient des valeurs données commensurables entre elles ; 2o que
pour Les constantes et et la moitié de nos valeurs moyennes deviennent arbitraires.
Si l’on veut faire le calcul du no 152, certains coefficients deviennent infinis, à moins qu’on ne choisisse convenablement les les et les valeurs moyennes restées arbitraires.
Si l’on fait ainsi ce choix, les séries existent, elles convergent et elles représentent les solutions périodiques du no 50.
Conclusions.
157.Telles sont les séries auxquelles on parvient par les procédés de calcul exposés dans les Chapitres qui précèdent. C’est M. Newcomb qui en a eu la première idée et qui a découvert leurs principales propriétés.
Ces séries sont divergentes, mais si l’on s’arrête à temps dans le développement, je veux dire avant d’avoir rencontré de très petits diviseurs, elles représentent les coordonnées avec une très grande approximation.
On peut encore les utiliser d’une autre manière.
Imaginons que l’on s’arrête à un certain terme de développement, puis qu’appliquant la méthode de la variation des constantes, on prenne pour variables nouvelles les les les et les Ces variables nouvelles varieront avec une extrême lenteur et les procédés anciens pourront être appliqués avec avantage aux équations différentielles qui définissent leurs variations. On pourra, par exemple, développer ces variables nouvelles suivant les puissances du temps.
