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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

blème des trois Corps, ne dépendant que des quatre arguments

$w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{2}'\,:$

ce sont les solutions correspondant aux cas du Problème des trois Corps dans le plan. Le nombre des arguments est ici réduit à 4 comme celui des degrés de liberté.

Mais on peut observer que les $\Lambda ,$ les $\lambda ,$ et les expressions (26) ne dépendent que des différences

$w_{2}-w_{1},\quad w_{1}'-w_{1},\quad w_{2}'-w_{1},$

ainsi que nous l’avons vu au n^o 154.

Si donc on prend comme variables $\Lambda ,$ $\lambda$ et ces expressions (26), le nombre des arguments est réduit à 3. Cela correspond au cas du problème du n^o 5, où il y a 3 degrés de liberté.

Imaginons maintenant que la masse de la première planète soit infiniment petite (cas d’une petite planète troublée par Jupiter). Il arrivera d’abord que

$\sigma _{2},\quad \tau _{2},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{4}$

se réduiront à

$\xi ',\quad \eta ',\quad p',\quad q'.$

Ces quantités, de même que $\Lambda ',$ seront des constantes et $\lambda '$ se réduira à $w_{2}.$

Il résulte de là que

${\begin{aligned}n_{2}'&={\frac {dw_{2}'}{dt}}=0,\\n_{4}'&={\frac {dw_{4}'}{dt}}=0.\end{aligned}}$

Le nombre de nos arguments, qui était de 6, est réduit à 4, à savoir

$w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{3}'.$

Il n’arrive plus ici que $\Lambda ,\,\lambda ,\,\ldots$ ne dépendent que des différences

$w_{1}-w_{2},\quad w_{1}'-w_{2},\quad w_{3}'-w_{2}.$

Le raisonnement du n^o 154 ne nous apprend, en effet, qu’une chose, c’est que, dans le cas général, $\Lambda$ dépend seulement des cinq différences

$w_{2}-w_{1},\quad w_{i}'-w_{1}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4).$