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CHAPITRE XIV.

Ou bien encore que si

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h$

est un terme du développement de $\Lambda _{p},$ $\lambda _{p},$ $\rho _{i}^{p}$ ou $\omega _{i}^{p},$ et que

$h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',$

la somme algébrique des entiers $m_{i}$ et $m_{i}'$ doit être nulle.

On en conclurait aisément que, si

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h$

est un terme de $\sigma _{i}^{p}$ ou $\tau _{i}^{p},$ cette même somme algébrique doit être égale à $\pm 1\,;$ j’ajoute que cette somme est nulle dans le développement de

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{p}\cos w_{k}&+\tau _{i}^{p}\sin w_{k},\\\tau _{i}^{p}\cos w_{k}&-\sigma _{i}^{p}\sin w_{k}\end{aligned}}$

(et dans celui des mêmes expressions où $w_{k}$ serait remplacé par $w_{k}'$).

Des considérations de symétrie et un raisonnement analogue nous conduiraient à d’autres propriétés.

Ainsi, tout étant symétrique par rapport au plan des $xz,$ les équations du mouvement ne changeront pas quand on changera les signes de $\lambda ,$ de $\lambda '$ et des $\tau _{i}$ sans changer $\Lambda ,$ $\Lambda '$ et les $\sigma _{i}.$

Alors supposons que, dans les développements (4), les valeurs moyennes des $\lambda _{p}$ et des $\tau _{i}^{p}$ que l’on peut choisir arbitrairement soient nulles. Changeons maintenant

$\lambda ,\quad \lambda ',\quad \tau _{i}$

en

$-\lambda ,\quad -\lambda ',\quad -\tau _{i}$

et, en même temps, $w_{i}$ et $w_{i}'$ en

$-w_{i}\quad$ et $\quad -w_{i}'.$

Les séries (4) conserveront la même forme, elles ne cesseront pas de satisfaire aux équations du mouvement. Les valeurs moyennes des $\Lambda _{p}$ et $\sigma _{i}^{p}$ ne changeront pas ; celles des $\lambda _{p}$ et $\tau _{i}^{p}$ resteront nulles. Enfin l’expression (15) restera une différentielle exacte.

Il faut pour cela que les séries (4) n’aient pas changé. Donc les