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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Puisque aucune de nos opérations ne peut altérer la propriété énoncée, elle est vraie dans toute sa généralité.

154.Observons maintenant que les équations du mouvement ne changent pas, quand, les $\Lambda$ et les $\rho _{i}$ ne changeant pas, les $\lambda$ et les $\omega _{i}$ augmentent d’une même quantité.

Reprenons les développements (4) (je conserve encore le numérotage du n^o 152) ; comme nous pouvons choisir arbitrairement les valeurs moyennes des quantités $\Lambda _{p},$ $\lambda _{p},$ $\Lambda _{p}',$ $\lambda _{p}',$ $\rho _{i}^{p},$ $\omega _{i}^{p},$ par rapport aux $w$ et aux $w',$ je me donnerai d’une manière quelconque toutes ces valeurs moyennes.

Les séries (4) sont alors les seules qui satisfassent formellement aux équations du mouvement et qui satisfassent de plus à cette double condition que toutes ces valeurs moyennes soient déterminées, et que

(15)

${\textstyle \sum }\,\Lambda \,d\lambda +{\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}$

soit une différentielle exacte.

Le calcul du n^o 152 détermine, en effet, sans ambiguïté les coefficients des séries qui sont assujetties à ces conditions diverses.

Ajoutons maintenant une même constante $\alpha$ à $\lambda ,$ à $\lambda '$ et aux $\omega _{i}\,;$ nous satisferons encore aux équations du mouvement d’après la remarque faite au début de ce numéro, et nos séries (4) n’auront pas changé, sauf que $\lambda _{0},$ $\lambda _{0}'$ et $\omega _{i}^{0}$ seront devenus $w_{1}+\alpha ,$ $w_{2}+\alpha ,$ et $w_{i}'+\alpha .$

Changeons ensuite $w_{i}$ et $w_{i}'$ en $w_{i}-\alpha$ et $w_{i}'-\alpha .$ Les séries conserveront la même forme, c’est-à-dire que les $\Lambda _{p},$ les $\lambda _{p}',$ les $\rho _{i}^{p},$ les $\omega _{i}^{o}\,(p>0)$ seront encore des fonctions périodiques des $w$ et des $w'$ dont la valeur moyenne restera la même. Elles satisferont encore formellement aux équations du mouvement, puisque je n’ai fait que retrancher une constante $\alpha$ aux constante $\varpi _{i}$ et $\varpi _{i}'$ qui sont arbitraires.

Enfin l’expression (15) restera une différentielle exacte.

Ces séries ne pourront donc différer des séries (4) qui sont les seules qui satisfassent à toutes ces conditions.

Cela veut dire que les $\Lambda _{p},$ les $\lambda _{p},$ les $\omega _{i}^{p}\,(p>0)$ ne changent pas quand on diminue à la fois les $w$ et les $w'$ d’une même quantité.