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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

nous pouvons également les considérer comme des fonctions des $\Lambda _{0},$ des $w,$ des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}.$ Je me propose de démontrer que ces fonctions sont développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}.$

Cette proposition est susceptible d’un autre énoncé évidemment équivalent. Reprenons les variables $\Lambda _{0},$ $w,$ $x_{i}'^{0},$ $w_{i}'\,;$ nos fonctions $\Lambda _{p},\,\ldots$ seront périodiques par rapport aux $w$ et aux $w',$ et, par conséquent, développables en séries trigonométriques. Soit

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h\$

un terme d’une de ces séries ; je suppose que

$h={\textstyle \sum }\,m_{k}w_{k}+{\textstyle \sum }\,m_{k}'w_{k}',$

les $m_{k}$ et les $m_{k}'$ étant des entiers positifs ou négatifs. Les coefficients $\mathrm {A}$ sont des fonctions des $\Lambda _{0}$ et des $x_{i}'^{0}.$

Eh bien, notre proposition peut s’énoncer comme il suit :

$\mathrm {A}$ est développable suivant les puissances des $x_{i}'^{0}.$ Le développement est divisible par

$\left(x_{i}'^{0}\right)^{|m_{i}'|}$

et tous ses termes contiennent $x_{i}'^{0}$ à une puissance paire si $m_{i}'$ est pair ou à une puissance impaire si $m_{i}'$ est impair.

Pour démontrer cette proposition, je me servirai d’un raisonnement de récurrence. Dans le numéro précédent, nous avons déterminé successivement les fonctions $\mathrm {A} _{p},\,\ldots$ par une série d’équations auxquelles je conserverai ici le même numérotage que dans le numéro précédent.

Il s’agit de démontrer que les valeurs des fonctions déterminées par ces équations sont développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}.$

J’observe d’abord que, $\mathrm {F}$ étant développable suivant les puissances des $\sigma _{i}$ et des $\tau _{i},$ les fonctions que nous avons appelées $\mathrm {L} _{p},$ $l_{p},$ $\mathrm {S} _{i}^{p},$ $\Theta _{i}^{p}$ sont développables suivant les puissances de

(12)

$\left\{{\begin{array}{rl}\left.{\begin{array}{rrrrrr}&\Lambda _{1},&\Lambda _{2},&\ldots ,&\Lambda _{p},&\ldots ,\\&\lambda _{1},&\lambda _{2},&\ldots ,&\lambda _{p},&\ldots ,\end{array}}\right\}&\!\!\!\!\scriptstyle {\rm {(et\;des\;m{\hat {e}}mes\;lettres\;accentu{\acute {e}}es)}}\\\left.{\begin{array}{rrrrrr}\sigma _{i}^{0},&\sigma _{i}^{0},&\sigma _{i}^{0},&\ldots ,&\sigma _{i}^{p},&\ldots ,\\\tau _{i}^{0},&\tau _{i}^{0},&\tau _{i}^{0},&\ldots ,&\tau _{i}^{p},&\ldots ,\end{array}}\;\;\;\right.&\end{array}}\right.$