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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

les termes de $\mathrm {F} _{1}$ dépendant de $h.$ Il est clair que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront des fonctions des $x_{i}^{0},$ des $x_{i}'^{0}$ et des $w'_{i}.$

Les termes correspondants seront

Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,:\;$	$-m_{i}m_{k}(\mathrm {A} \,c+\mathrm {B} \,s),$
Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,:\;$	$m_{i}\left(-{\frac {d\mathrm {A} }{dw'_{k}}}\,s+{\frac {d\mathrm {B} }{dw'_{k}}}\,c\,\right),$
Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}^{0}}}\,:\;$	$m_{i}\left(-{\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}^{0}}}\,\,s+{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}^{0}}}\,c\,\right),$
Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}'^{0}}}\,:\;$	$m_{i}\left(-{\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}'^{0}}}\,s+{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}'^{0}}}\,c\right),$

(les lettres $s$ et $c$ sont mises, pour abréger, pour $\sin h$ et $\cos h$).

Maintenant nous avons les équations (6), en y faisant $p=1,$ qui deviennent

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=+{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}}},\\{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}},\end{aligned}}$

avec deux autres équations où les lettres $x_{i}^{1},$ $y_{i}^{1},$ $w_{i}$ (et non pas $w_{k}$) et $x_{i}^{0}$ sont remplacées par les mêmes lettres accentuées. Si donc nous posons

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{q}n_{q}^{0}={\frac {1}{\mathrm {M} }},$

nous verrons que les termes en $\sin h$ et $\cos h$ seront

Dans	$y_{k}^{1}\,:\;$	$-\mathrm {M} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}^{0}}}\,\,s-{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}^{0}}}\,c\,\right),$
Dans	$y_{k}'^{1}\,:\;$	$-\mathrm {M} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}'^{0}}}\,s-{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}'^{0}}}\,c\right),$
Dans	$x_{k}^{1}\,:\;$	$+\mathrm {M} \,m_{k}(\mathrm {A} \,c+\mathrm {B} \,s),$
Dans	$x_{k}'^{1}\,:\;$	$+\mathrm {M} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dw'_{k}}}\,\,s-{\frac {d\mathrm {B} }{dw'_{k}}}\,c\,\right).$

Si l’on remplace dans le second membre de L’équation (10), on voit que tous ces termes s’annulent. On a donc bien, comme nous l avions prévu,

$\left[\mathrm {X} _{i}^{2}\right]=0.$