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CHAPITRE XIV.

Or on obtiendra les termes constants de ce produit en considérant un terme de

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}},$

dépendant de

$\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q})$

(si je suppose que le nombre des $w_{i}$ soit égal à $q$) ou de

$\sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q}),$

par un terme de $y_{k}^{1}$ dépendant du même cosinus ou du même sinus.

Observons d’abord que nous n’avons pas à nous inquiéter du cas où

$m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{q}=0.$

En effet,

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}$

étant une dérivée par rapport à $w_{i}$ d’une fonction périodique par rapport aux $w,$ ne peut pas contenir de termes indépendants des $w.$ Cela n’est pas sans importance, et en effet il en résulte que nous n’avons pas besoin de calculer les

$\left[y_{1}^{k}\right],\quad \left[x_{1}^{k}\right],\quad \ldots .$

Or les équations (6) vont bien nous donner les $y_{k}^{1},$ les $x_{k}^{1},\,\ldots ,$ à une fonction arbitraire près des $w,$ mais elles ne nous donneraient pas les valeurs moyennes de ces fonctions. Nous venons heureusement de voir qu’elles nous sont inutiles.

Soit donc

$m_{1},\quad m_{2},\quad \ldots ,\quad m_{q}$

un système quelconque d’entiers positifs ou négatifs et n’étant pas tous nuls à la fois. Posons

$m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q}=h.$

Nous chercherons dans les deux facteurs de chacun des termes du second membre de l’équation (10) les termes en $\cos h$ et en $\sin h$ et nous verrons s’ils donnent des termes indépendants des $w$ dans $\mathrm {X} _{i}^{2}.$

Soit donc

$\mathrm {A} \cos h+\mathrm {B} \sin h$