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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

Envisageons la première des équations (7) en y faisant $p=2\,;$ si les $[x_{i}^{1}]$ sont des constantes, il restera

$\left[\mathrm {X} _{i}^{2}+\mathrm {Z} _{i}^{2}+\mathrm {U} _{i}^{2}\right]=0.$

Or, il résulte des définitions que

$\left[\mathrm {Z} _{i}^{p}\right]=0,\qquad \mathrm {U} _{i}^{2}=0.$

Il vient donc

$\left[\mathrm {X} _{i}^{2}\right]=0.$

Cette conclusion, où nous avons été conduit en nous appuyant sur la possibilité du développement démontrée dans les Chapitres précédents, peut être obtenue directement.

On a en effet

(10)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}^{2}&=\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}y_{k}^{1}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw'_{k}}}y_{k}'^{1}\\&+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{1}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}'^{0}}}x_{k}'^{1}+{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dw_{i}}},\end{aligned}}\right.$

Il va sans dire que dans $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2},$ je suppose les $y_{i},$ les $x_{i},\,\ldots ,$ remplacés par les $w_{i}$ les $x_{i}^{0},\,..$

Il est clair que la valeur moyenne de ${\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dw_{i}}}$ est nulle ; il me reste donc à montrer que la somme algébrique des valeurs moyennes des quatre premiers termes du second membre de (10) est également nulle.

En effet, supposons les expressions

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}},\quad y_{k}^{1},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw'_{k}}},\quad y_{k}'^{1},\quad \ldots$

développées en séries trigonométriques procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples des $w_{i}.$ $\mathrm {X} _{i}^{2}$¡ se trouvera ainsi développé en une série de même forme et il s’agit de calculer les termes de cette série qui sont indépendants des $w_{i}.$

Il suffit pour cela de calculer les termes indépendants des $w_{i}$ dans le produit

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,y_{k}^{1}$

et dans tous les autres produits analogues.