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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
membres, il viendra
(7)
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Les premiers membres doivent être supprimés pour
Voyons comment ces équations (6) et (7) nous permettront le
calcul des coefficients du développement (2).
Dans les équations (6) faisons d’abord
Il vient (puisque
![{\displaystyle \mathrm {Z} _{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{0},\quad \ldots ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ea9e4a414c9bbd21a97a4cd98638cbcea844b6)
sont nuls
et que les premiers membres doivent être supprimés, ainsi que je
l’ai dit plus haut)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=0,&\mathrm {Y} _{i}^{0}&=n_{i}^{0},&\mathrm {Y} _{i}'^{0}&=n_{i}'^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053ca730811993b73c0885c2de1eff881e6a5355)
Ces équations nous donnent les valeurs des
qui, d’ailleurs, nous
sont déjà connues et nous apprennent que les
sont nuls, puisque
les
le sont.
Considérons maintenant les équations (7) en y faisant
il viendra (en observant que
sont nuls)
(8)
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Pour interpréter ces équations, il convient de rechercher ce que
c’est que les quantités
Pour avoir
et
, il faut
envisager les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy'_{i}}},\quad -{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666f8941285eeedd7597a9984be6e92636de227b)
et y remplacer les
les
les
et les
par
![{\displaystyle w_{i},\,w'_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a537942c436d11db8d0a69598f07f73c6243bc2e)
Soit
le résultat de cette substitution dans
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw_{i}}},&x_{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw'_{i}}},&\mathrm {Y} _{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dx_{i}'^{0}}},\\&&\left[\mathrm {F} _{1}^{\star }\right]&=\mathrm {R} ^{\star },&&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfc3237d35e288e3240f3a8183a2cd5fca25cd2)
étant le résultat de la même substitution dans ![{\displaystyle \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be30d6add602e05f39858715ffff7116c759c1fc)