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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

on voit que les $\mathrm {X} _{i}^{k},\,\mathrm {X} _{i}'^{k}$ les $\mathrm {Y} _{i}'^{k}$ dépendront seulement des

${\begin{array}{rrrl}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&\ldots ,&x_{i}^{k-1},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&\ldots ,&y_{i}^{k-1}\end{array}}$

et des mêmes lettres accentuées ; tandis que les $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ dépendront en outre des $x_{i}^{k},$ mais non des $x_{i}'^{k},$ des $y_{i}^{k},$ des $y_{i}'^{k}.$

Considérons l’expression

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot$

Substituons-y, à la place de $x_{i},$ son développement (2) et à la place des $n_{k}$ leur développement suivant les puissances de $\mu .$ Cette expression deviendra développable suivant les puissances de $\mu ,$ et pour employer des notations analogues à celles du n^o 127, j’écrirai son développement sous la forme suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}&=\Sigma '\,\mu ^{p}n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}+\Sigma \,\mu ^{p}n_{k}^{p}{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}-\Sigma \,\mu ^{p}\mathrm {Z} _{i}^{p},\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}&=\Sigma '\,\mu ^{p}n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}+\Sigma \,\mu ^{p}n_{k}^{p}{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}-\Sigma \,\mu ^{p}\mathrm {T} _{i}^{p}.\end{aligned}}\right.$

Il faut convenir que le signe $\Sigma$ exprime une sommation étendue à toutes les valeurs de $k$ et à toutes les valeurs de $p$ depuis 0 jusqu’à l’infini, et le signe $\Sigma '$ une sommation étendue à toutes les valeurs de $k$ et à toutes les valeurs de $p$ depuis 1 jusqu’à l’infini.

Il convient de se rappeler que $y_{i}^{0}=w_{i},$ $y_{i}'^{0}=w'_{i}$ et d’adjoindre aux équations (4) deux autres équations de même forme où les lettres $x_{i},$ $y_{i},$ $x_{i}^{p},$ $y_{i}^{p},$ $x_{i}^{0},$ $y_{i}^{0},$ $\mathrm {Z} _{i}^{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}$ sont remplacées par les mêmes lettres accentuées.

Nous écrirons de même

(5)

${\textstyle \sum }_{k}\,n'_{k}{\frac {dx_{i}}{dw'_{k}}}=\Sigma '\,\mu ^{p}n_{k}'^{1}{\frac {dx_{i}^{p-1}}{dw'_{k}}}+\Sigma \,\mu ^{p}n_{k}'^{p}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw'_{k}}}-\Sigma \,\mu ^{p}\mathrm {U} _{i}^{p},$

Il faut convenir que la sommation $\Sigma$ s’étend à toutes les valeurs de $p$ de 1 à l’infini et la sommation $\Sigma '$ à toutes les valeurs de $p$ de 2 à l’infini et nous adjoindrons à cette équation (5) trois autres de même forme où les lettres

$x_{i},\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{p}$