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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

firmer que ce fait ne se présentera pas. Tout ce qu’il m’est permis de dire, c’est qu’il est fort invraisemblable.

Comparaison avec les méthodes anciennes.

150. Je n’ajouterai qu’un mot : quel est, à défaut d’un moyen d’assurer la convergence des séries, le meilleur choix à faire des valeurs moyennes des $x_{i}^{p}$ et des $y_{i}^{p}$ ? Je crois qu’il convient de choisir ces valeurs moyennes de telle façon que les $x_{i}^{p}$ et les $y_{i}^{p}$ (à partir de $x_{i}^{1}$ et de $y_{i}^{1}$) s’annulent pour $t=0,$ de telle façon que les $x_{i}^{0}$ représentent les valeurs initiales des $x_{i}$ et les $\varpi _{i}$ les valeurs initiales des $y_{i}.$

Si ensuite, on considère les séries ainsi obtenues

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}+\ldots ,\end{alignedat}}\right.$

les $x_{i}^{p},$ les $w_{i}$ et les $y_{i}^{p}$ dépendront de $\mu \,;$ si l’on développe ces quantités suivant les puissances de $\mu ,$ puis qu’on ordonne suivant les puissances croissantes de $\mu$ les seconds membres des équations (1), on obtiendra le développement selon les puissances de $\mu$ de celle des solutions particulières de nos équations différentielles qui admet $x_{i}^{0}$ et $\varpi _{i}$ pour valeurs initiales des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

On sait que ce développement est convergent pour les valeurs de $t$ suffisamment petites.

Soit

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \xi _{i}^{0}+\mu ^{2}\xi _{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=n_{i}^{0}t+\varpi _{i}+\mu \,\eta _{i}^{1}+\mu ^{2}\eta _{i}^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}\right.$

les $\xi _{i}^{p}$ et les $\eta _{i}^{p}$ sont des fonctions du temps non périodiques, mais ne dépendent plus de $\mu \,;$ de plus, ces fonctions s’annulent de même que les $x_{i}^{p}$ et les $y_{i}^{p}$ pour $t=0.$

De la façon dont nous venons de déduire le développement (2) du développement (1), il est permis de tirer quelques conséquences au sujet de la forme du développement (2).

Ainsi, pour obtenir $\xi _{i}^{1},$ il suffit de faire $\mu =0$ dans l’expression de $x_{i}^{1}.$ Rappelons comment $x_{i}^{1}$ dépend de $\mu \,;$ $x_{i}^{1}$ est une fonction