Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/112

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
98
CHAPITRE XIII.

et en même temps que la série (3 bis) ne converge pas uniformément ;

2o Mais on pourra les choisir également de telle sorte qu’ils soient encore aussi voisins que l’on veut des mêmes nombres donnés, et que la série (3 bis) converge uniformément.

On conçoit aisément l’importance de cette remarque. En effet, les observations, quelle que soit d’ailleurs leur précision, ne peuvent faire connaître les moyens mouvements qu’avec une certaine approximation. On pourra donc toujours, en restant dans les limites de cette approximation, s’arranger de façon que les séries (3 bis) convergent.

D’un autre côté, on peut se demander s’il peut se faire que les séries (3 bis) convergent pour les valeurs des constantes d’intégration comprises dans un certain intervalle (on se rappelle que les dépendent des ). D’après ce que nous venons de voir, cela ne serait possible que si la série

ne contenait qu’un nombre limité de termes, c’est-à-dire si, dans la fonction

chacune des fonctions dans son développement suivant les sinus et les cosinus des multiples des ne contenait qu’un nombre fini de termes.

Il n’en sera pas ainsi en général, et la fonction par exemple, sera une série d’une infinité de termes. Mais, dans la pratique, on dirigera le calcul de façon à être ramené au cas où les fonctions n’ont qu’un nombre fini de termes. En effet, la série étant convergente, tous les termes, à l’exception d’un nombre fini d’entre eux sont extrêmement petits. Il serait donc sans intérêt d’en tenir compte dès la première approximation.

Voici donc ce qu’on sera conduit à faire : dans la série tous les termes, sauf un nombre fini d’entre eux, pourront être regardés comme du même ordre de grandeur que mais il y en aura qui seront du même ordre de grandeur que d’autres, plus petits encore, qui seront du même ordre de grandeur que etc. Dans