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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.
série (3 bis) soit convergente ; supposons, en effet, que la série
converge et, ce qui arrivera d’ordinaire, de telle façon que l’on ait,
pour toutes les valeurs de et de
(6)
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étant un nombre positif quelconque, et et deux nombres
positifs plus petits que 1.
Prenons et étant deux entiers premiers entre eux
et tels que ne soit pas carré parfait. Il vient alors
d’où
ce qui prouve que la série (3 bis) converge.
Mais on peut évidemment choisir les entiers et de telle
sorte que soit aussi voisin que l’on veut d’un nombre
quelconque donné.
Nous sommes donc conduits au résultat suivant, que j’énonce
en l’étendant tout de suite au cas général.
Soient un nombre positif quelconque, des
nombres positifs plus petits que 1.
Je suppose que l’on ait une inégalité analogue à (6), et que j’écrirai
c’est ce qui arrivera d’ordinaire.
Dans ce cas, on pourra choisir les nombres
de telle sorte :
1o Qu’ils soient aussi voisins que l’on veut de nombres donnés,