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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.
série (3 bis) soit convergente ; supposons, en effet, que la série
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662c5407366e7130fcd950fcdb2d8bd39697f9ca)
converge et, ce qui arrivera d’ordinaire, de telle façon que l’on ait,
pour toutes les valeurs de
et de ![{\displaystyle m_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da7642bad316ab9b7734c8c086b1f7ca07b5020)
(6)
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étant un nombre positif quelconque, et
et
deux nombres
positifs plus petits que 1.
Prenons
et
étant deux entiers premiers entre eux
et tels que
ne soit pas carré parfait. Il vient alors
![{\displaystyle \left|{\frac {1}{m_{1}n-m_{2}}}\right|-\left|{\frac {m_{1}n+m_{2}}{m_{1}^{2}n^{2}-m_{2}^{2}}}\right|=\left|{\frac {(m_{1}n+m_{2})q}{pm_{1}^{2}-qm_{2}^{2}}}\right|<q(|m_{1}|n+|m_{2}|),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b898e4aff09313e008c048d75b4ff8a58ae97fd)
d’où
![{\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h)}{m_{1}n-m_{2}}}\right|<\mathrm {K} q(|m_{1}|n+|m_{2}|)\alpha ^{|m_{1}|}\beta ^{|m_{2}|},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cf7d1161a2a8f9e3d5ebe0e947b18634dd692a)
ce qui prouve que la série (3 bis) converge.
Mais on peut évidemment choisir les entiers
et
de telle
sorte que
soit aussi voisin que l’on veut d’un nombre
quelconque donné.
Nous sommes donc conduits au résultat suivant, que j’énonce
en l’étendant tout de suite au cas général.
Soient
un nombre positif quelconque,
des
nombres positifs plus petits que 1.
Je suppose que l’on ait une inégalité analogue à (6), et que j’écrirai
![{\displaystyle |\mathrm {B} |<\mathrm {K} \alpha _{1}^{|m_{1}|}\alpha _{2}^{|m_{2}|}\ldots \alpha _{n}^{|m_{n}|},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa0b746191df12732152b744d4cb33bdf67d5cd)
c’est ce qui arrivera d’ordinaire.
Dans ce cas, on pourra choisir les nombres
![{\displaystyle n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c657b9f53c82126a8b782566b56d0af8a9533ca9)
de telle sorte :
1o Qu’ils soient aussi voisins que l’on veut de
nombres donnés,