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CHAPITRE XIII.

Nous sommes donc conduits à nous occuper du cas où $n$ est incommensurable et envisager spécialement ceux des diviseurs $m_{1}n-m_{2}$ qui correspondent aux réduites successives de $n.$

Je dis d’abord que, quelle que soit la série des nombres $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}},$ on peut trouver un nombre incommensurable $n$ (aussi voisin que l’on veut d’un nombre donné) et qui soit tel que la valeur absolue des coefficients (4) ne soit pas limitée.

Soient, en effet,

${\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}},\quad {\frac {\alpha _{2}}{\beta _{2}}},\quad \ldots ,{\frac {\alpha _{p}}{\beta _{p}}},\quad \ldots$

les réduites successives de $n.$

Soient

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{p},\quad \ldots ,$

une suite quelconque de nombres positifs indéfiniment croissants. Je dis qu’on peut toujours choisir le nombre $n,$ de telle façon que

(5)

$\left|{\frac {\mathrm {B} \beta _{p}\alpha _{p}}{n\beta _{p}-\alpha _{p}}}\right|>\lambda _{p}.$

Nous avons, en effet, d’après la définition des réduites,

${\begin{aligned}\alpha _{p+1}&=\alpha _{p-1}+\alpha _{p}a_{p+1},&\beta _{p+1}&=\beta _{p-1}+\beta _{p}a_{p+1},\end{aligned}}$

$a_{p+1}$ étant un entier positif que nous pouvons choisir arbitrairement, sans altérer en rien les $p$ premières réduites.

On a, d’autre part,

$|n\beta _{p}-\alpha _{p}|<{\frac {1}{\beta _{p-1}+\beta _{p}a_{p+1}}}\cdot$

Nous pouvons donc choisir l’entier $a_{p+1},$ de telle façon que la valeur absolue de $n\beta _{p}-\alpha _{p}$ soit aussi petite que nous le voudrons, et, par conséquent, de façon à satisfaire à l’inégalité (5), quels que soient les nombres $\mathrm {B} \beta _{p}\alpha _{p}$ et $\lambda _{p}.$

Comme les nombres $\lambda _{p}$ sont assujettis seulement à être indéfiniment croissants, nous pouvons choisir arbitrairement les $q$ premiers de ces nombres (quel que soit $q$), et par conséquent les $q$ premières réduites ; le nombre $n$ peut donc être aussi voisin que l’on veut d’un nombre quelconque donné.

En revanche, on peut souvent trouver un nombre $n$ tel que la