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CHAPITRE XII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Mais, d’après ce que nous venons de voir, les deux systèmes d’équations sont identiques, et le second ne diffère du premier que parce que les lettres sont affectées d’indices.

Jusqu’ici il semble que la transformation que nous avons faite n’ait rien changé à la forme de nos équations ; j’arrive enfin à ce qui doit en mettre les avantages en évidence.

Voyons d’abord ce que deviennent les équations de nos solutions périodiques de la première sorte avec nos nouvelles variables. Grâce au choix de notre fonction auxiliaire $\mathrm {S} ,$ elles s’écriront

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}'=0,&\Lambda _{1}&=\mathrm {const.} ;&\Lambda _{1}'&=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

Enfin, $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$ seront des fonctions données du temps, des deux constantes $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'$ et de deux nouvelles constantes arbitraires.

Il peut y avoir quelque intérêt, bien que cela ne soit pas nécessaire pour notre objet, de voir comment $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$ dépendent de ces deux constantes que j’appellerai $\alpha$ et $\beta \,;$ nous aurons

${\begin{aligned}\lambda _{1}&=\alpha +\varphi (t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),&\lambda _{1}'&=\alpha +\varphi '(t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant deux fonctions de $t+\beta ,$ $\Lambda _{1},$ $\Lambda _{1}'$ qui, quand $t+\beta$ augmente d’une certaine constante $\gamma$ dépendant de $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}',$ augmentent elles-mêmes d’une certaine constante $\delta$ (la même pour $\varphi$ et pour $\varphi '$) qui dépend aussi de $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$ La première de ces deux constantes $\gamma$ est la période de la solution périodique envisagée et la seconde $\delta$ est l’angle dont tourne le système des trois corps pendant la durée d’une période.

Je ne veux retenir de tout cela qu’une chose :

Si $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\xi _{1}'$ et $\eta _{1}'$ sont nuls à l’origine des temps, la solution est périodique de la première sorte et ces quatre variables $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $\xi _{1}'$ et $\eta _{1}'$ resteront toujours nulles.

Or, nous avons les équations différentielles

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},&{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}},\\{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}}.\end{aligned}}$

Il faut donc que les quatre dérivées

${\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}}$