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CHAPITRE XII.
Mais, d’après ce que nous venons de voir, les deux systèmes
d’équations sont identiques, et le second ne diffère du premier
que parce que les lettres sont affectées d’indices.
Jusqu’ici il semble que la transformation que nous avons faite
n’ait rien changé à la forme de nos équations ; j’arrive enfin à ce
qui doit en mettre les avantages en évidence.
Voyons d’abord ce que deviennent les équations de nos solutions
périodiques de la première sorte avec nos nouvelles variables.
Grâce au choix de notre fonction auxiliaire elles s’écriront
Enfin, et seront des fonctions données du temps, des deux
constantes et et de deux nouvelles constantes arbitraires.
Il peut y avoir quelque intérêt, bien que cela ne soit pas nécessaire
pour notre objet, de voir comment et dépendent de ces
deux constantes que j’appellerai et nous aurons
et étant deux fonctions de qui, quand
augmente d’une certaine constante dépendant de et augmentent
elles-mêmes d’une certaine constante (la même pour
et pour ) qui dépend aussi de et La première de ces deux
constantes est la période de la solution périodique envisagée et
la seconde est l’angle dont tourne le système des trois corps
pendant la durée d’une période.
Je ne veux retenir de tout cela qu’une chose :
Si et sont nuls à l’origine des temps, la solution
est périodique de la première sorte et ces quatre variables
et resteront toujours nulles.
Or, nous avons les équations différentielles
Il faut donc que les quatre dérivées