90
CHAPITRE XII.
2o Elles sont périodiques en
et
3o Elles sont linéaires en
De ces équations on peut alors déduire, par application des
principes du Chapitre II, dont nous avons fait un si fréquent usage,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}+\mu \psi _{1},&\lambda '&=\lambda _{1}'+\mu \psi _{1}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d416abd1d4ba68938901397b6e549501277a2ce5)
et
étant des fonctions de
et des mêmes lettres
accentuées, qui sont
1o Développables suivant les puissances de
2o Périodiques en
et
Substituons dans les équations (9) ces valeurs de
et de
nous aurons les
et les
en fonctions des variables nouvelles. J’observe
que les
et les
exprimés de la sorte sont développables
suivant les puissances de
des
et des
et périodiques en
et
de plus, pour
et
se réduisent à
et
Si, dans les deux équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }},&\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12eebba5849f7a06fe449909a07a05018b5ecada)
on substitue maintenant, à la place des
des
et des
leurs
expressions en fonctions des variables nouvelles, on aura
et
exprimés en fonctions des
des
des
et des
périodiques
en
et
développables suivant les puissances de
des
et
des
et se réduisant pour
à
et ![{\displaystyle \Lambda _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b731e51fd52e24a87cfcf3b748c6a068cd34722d)
Que devient maintenant
quand on adopte les variables nouvelles ?
Il est clair que
sera encore développable suivant les puissances
de
des
et des
et périodique en
et
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8a5ad6d570d34526ededfbb5ee5c93b11d394e)
le développement de
suivant les puissances de
quand on
adopte les variables anciennes et soit de même
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}+\mu \,\mathrm {F} '_{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} '_{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9746940d07445a93ecf64a48faefa55a2b5b21)
le développement de
quand on adopte les variables nouvelles.
Il est clair d’abord que, pour obtenir
il suffit de remplacer
dans
et
par
et
Calculons