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APPLICATION AUX ORBITES.

c’est-à-dire

$\Lambda +\Lambda '-{\frac {\xi ^{2}+\xi '^{2}+\eta ^{2}+\eta '^{2}}{2}}=\mathrm {const.}$

Or, cette condition n’est autre chose que l’équation des aires, elle est donc remplie.

La fonction $\mathrm {S} _{0},$ définie par les équations (8), existe donc. Ses dérivées ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}$ et ${\frac {d\mathrm {S} '_{0}}{d\lambda '}}$ sont périodiques en $\lambda$ et $\lambda '.$ Les valeurs moyennes de ces deux fonctions périodiques dépendent seulement des deux constantes $\Lambda _{1}$ et $\Lambda '_{1}.$ Comme nous n’avons jusqu’ici rien supposé au sujet du choix de ces deux constantes, nous pouvons les choisir de telle façon que ces valeurs moyennes soient précisément $\Lambda _{1}$ et $\Lambda '_{1}.$

On aura alors

$\mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+$ fonction périodique en $\lambda$ et $\lambda '.$

La fonction $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances croissantes de $\mu$, et pour $\mu =0$ se réduit à

$\mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta '.$

Pour effectuer la transformation, cherchons à exprimer les variables anciennes en fonctions des nouvelles à l’aide des équations (7). Nous avons d’abord

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\eta &=\eta _{1}+\mathrm {C} ,&\eta '&=\eta _{1}'+\mathrm {C} ',\\\xi &=\xi _{1}+\mathrm {B} ,&\xi '&=\xi _{1}'+\mathrm {B} '\,;\end{aligned}}\right.$

puis, les deux premières équations (7)

${\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}}},&\lambda _{1}'&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}'}}\cdot \end{aligned}}$

Dans ces deux équations, je remplace $\eta$ et $\eta '$ par leurs valeurs (9), et alors elles peuvent s’écrire

${\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda +\mu \psi ,&\lambda _{1}'&=\lambda '+\mu \psi '.\end{aligned}}$

$\psi$ et $\psi '$ étant des fonctions de $\mu ,$ $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\xi _{1},$ $\xi _{1}',$ $\eta _{1},$ $\eta _{1}',$ $\Lambda _{1},$ $\Lambda _{1}'$ de la forme suivante :

1^o Elles sont développables suivant les puissances de $\mu .$