Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/96

84

CHAPITRE III.

D’après le n^o 33, on peut éliminer entre les équations (1), les $n-1$ variables $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\beta _{3},$ $\dots ,$ $\beta _{n-1},$ et obtenir une équation unique

(2)

$\Phi (\beta _{n},\mu )=0$

dont le premier membre est holomorphe en $\beta _{n}$ et $\mu$ et s’annule avec ces variables.

Si l’on regarde un instant $\beta _{n}$ et $\mu$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, cette équation représente une courbe passant par l’origine ; à chacun des points de cette courbe correspond une solution périodique.

On pourra donc se rendre compte de toutes les circonstances qui peuvent se présenter en étudiant la forme de cette courbe dans le voisinage de l’origine.

Un cas particulier intéressant est celui où, pour $\mu =0,$ les équations différentielles admettent une infinité de solutions périodiques.

Soit

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t,h),&x_{2}&=\varphi _{2}(t,h),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t,h)\end{aligned}}$

un système de solutions périodiques, contenant une constante arbitraire $h.$ Quelle que soit cette constante, les fonctions $\varphi _{i}$ sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $t,$ et elles satisfont aux équations différentielles quand on les y substitue à la place des $x,$ et qu’on fait $\mu =0.$

Dans ce cas, pour $\mu =0,$ les équations (1) ne sont plus distinctes, et l’équation (2) doit se réduire à une identité.

Alors la fonction $\Phi$ doit contenir $\mu$ en facteur et se réduire à $\mu \Phi _{1},$ de telle façon que la courbe (2) se décompose en une droite $\mu =0$ et une autre courbe $\Phi _{1}=0.$

À chaque point de cette courbe $\Phi _{1}=0$ correspond une solution périodique, de sorte que l’étude de cette courbe nous fera connaître les diverses circonstances qui pourront se présenter.

Mais cette courbe $\Phi _{1}=0$ ne passe pas toujours par l’origine.

Nous devons donc avant tout disposer de la constante arbitraire $h$ de façon que cette courbe passe par l’origine.

Un autre cas particulier qui me semble digne d’intérêt est le sui-