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CHAPITRE III.
on pourra encore en conclure que
![{\displaystyle \varphi _{i}(t)=\varphi _{i}(t+\mathrm {T} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3cf034bb6f2e38e8a3a8bb4d10089a9de9ef6c)
et la solution (2) sera encore périodique.
Voici un autre cas un peu plus compliqué. Supposons de nouveau
que les fonctions
ne dépendent plus que des
mais
qu’elles soient des fonctions périodiques des
premières
à savoir
de
de telle sorte que les
ne changent pas
quand on change
en
ou bien
en
…,
ou bien
en
Imaginons maintenant que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\varphi _{1}(\mathrm {T} )&=\varphi _{1}(0)\!+\!2k_{1}\pi ,&\varphi _{2}(\mathrm {T} )&=\varphi _{2}(0)\!+\!2k_{2}\pi ,\;\;&\dots \;\;\varphi _{p}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p}(0)\!+\!2k_{p}\pi ,\\\varphi _{p+1}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p+1}(0),&\varphi _{p+2}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p+2}(0),&\dots \;\;\varphi _{n}(\mathrm {T} )&=\varphi _{n}(0).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8838ae6e5d77977a77e4b589225899367b346896)
étant des entiers.
À l’époque
les
premières variables
auront augmenté d’un
multiple de
les
dernières n’auront pas changé ; les
n’auront donc pas changé, et l’on se retrouvera dans les mêmes
conditions qu’à l’époque 0. On aura donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)+2k_{i}\pi &&\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,p)\\\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)&&\quad (i=p+1,\,p+2,\,\dots ,\,n).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6635aafd55c4ea40b97c72769410eb07d50a822a)
Nous conviendrons encore de dire que la solution (2) est une
solution périodique.
Enfin il peut arriver qu’un changement convenable de variables
fasse apparaître des solutions périodiques qu’on ne rencontrait pas
avec les variables anciennes.
Reprenons, par exemple, les équations (2) du no 2
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}+n^{2}\xi ,\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}+n^{2}\eta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc2035ea6bd32e9b9e00b715694a1c6b8129a05)
Il s’agit, on se le rappelle, du mouvement d’un point rapporté à
deux axes mobiles Oξ et Oη et soumis à une force dont les composantes
suivant ces deux axes sont
et
Dans beaucoup d’applications,
ne dépend que de
et de