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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
qui correspond au maximum, de façon que ce maximum ait lieu pour
![{\displaystyle z_{1}=z_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac46adecd1a744f3cc549820d4d0c3e6e6d53b3)
On pourra alors décrire autour de l’origine une courbe fermée
très petite, et telle qu’en tous ces points on ait
![{\displaystyle \mathrm {F} (z_{1},z_{2})<\mathrm {F} (0,0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8df4fb0ef7d925766c36b6f7644bf8b696d36a6)
Mais il y a plus : nous pouvons supposer que cette courbe ait
pour équation
![{\displaystyle \mathrm {F} (z_{1},z_{2})=\mathrm {F} (0,0)-\lambda ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e2396d32b25341b1fa0e47019f2ba7f6f96ccc)
étant une constante très petite, et qu’à l’intérieur de cette courbe
fermée
on ait
par conséquent, quand on franchira la courbe
en allant de l’extérieur
à l’intérieur,
ira en augmentant.
Ce qu’il s’agit d’établir, c’est que
![{\displaystyle z_{1}=z_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa089b4d81cc34f0786b2f2c0593602b0846c45d)
est une solution d’ordre impair du système
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7485bc873e95a7a0094b99929bdc94d6e1570511)
mais cela revient à dire ce qui suit : soit
![{\displaystyle \mathrm {F} (z_{1},z_{2},\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81dc4d96547527e15a65b947b8def934fdd5c5e)
une fonction de
et de
qui se réduise à
pour ![{\displaystyle \mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1fbd9b60e51f99639d432b9b86c1f1f486e1b2)
Le système
(1)
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a, pour
![{\displaystyle \mu =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d191c285311dcd60a77e9791d186aa2ca575dec)
une solution multiple qui est
![{\displaystyle z_{1}=z_{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574e7e36964c064e0524e0f558ee323f4df271be)
mais on peut toujours choisir la fonction
[qui ne nous
est donnée que pour
et qui reste arbitraire pour les autres
valeurs de
], de telle façon que, pour les valeurs de
différentes