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CHAPITRE II.
j’ai démontré qu’une pareille équation peut être transformée en
une autre de la forme suivante
![{\displaystyle \varphi (y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca217c75d5b020152faa70cba8af2b2433a1cf46)
où
est un polynôme de degré
en
où le coefficient de
est égal à 1, et où les autres coefficients sont holomorphes par
rapport aux ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Si l’on suppose
cette équation
se réduit à
![{\displaystyle y{}-{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8476d5d9cbc51fc5c73c2083562d9b71c3c4ad0e)
fonction holomorphe des
![{\displaystyle \;x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd305c4c2362f7378ce9eed233a9114d700de20c)
et l’on retombe sur le théorème du no 30.
J’ai démontré également dans cette même Thèse (lemme IV, p. 14) que :
Si
sont
fonctions holomorphes en
si ces fonctions s’annulent quand on annule
tous les
et tous les
si les équations
![{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}=\dots =\varphi _{p}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4905fb17971e2be42242283123b97e576c281308)
restent distinctes quand on annule tous les
si enfin on définit
les
en fonction des
par les équations
(2)
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les
fonctions ainsi définies sont algébroïdes ; ce qui veut dire,
dans le langage de la Thèse citée, que les équations (2) peuvent être
remplacées par
autres équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&=0,&\psi _{2}&=0,&&\dots ,&\psi _{p}&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5b759e6dd4763e091e307899bc4045bed1f6d2)
de même forme, mais dont les premiers membres sont des polynômes
entiers par rapport aux ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Cela posé, soient deux équations simultanées
(3)
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définissant
et
en fonction de
je suppose que les premiers
membres soient holomorphes en
et
et s’annulent avec ces
trois variables.
De deux choses l’une, ou bien, quand on annulera
les deux