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CHAPITRE II.
suit : si l’on a
équations (où les inconnues sont
)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}f_{1}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\\f_{2}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\\..\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\f_{p}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8fd1a4aa61324b0e8b25dfe4a191c1b594dbf3)
dont les premiers membres sont holomorphes, si, pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757435ace047ed4f58ecd862fc92ceb798b0ed91)
le système de valeurs
![{\displaystyle y_{1}=y_{2}=\dots =y_{p}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e420783b08b7a4cb4bd2fa8f4ecacd371ae3286)
est une solution simple des équations, les
peuvent se développer
suivant les puissances croissantes des
Si donc on donne aux
des valeurs suffisamment petites, nos équations admettront
encore une solution réelle.
Points singuliers algébriques.
32.Considérons une équation
(1)
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et supposons que, pour
s’annule ainsi que ses
premières dérivées par rapport à
Alors, pour
la valeur 0 de
est une solution d’ordre
de
l’équation.
On démontre qu’il existe
développements convergents de
suivant les puissances positives et fractionnaires de
s’annulant
avec
et satisfaisant à l’équation (voir les travaux classiques de
M. Puiseux sur les équations algébriques).
Mais ces
développements convergents se répartissent en
groupes de la manière suivante.
Soit
(2)
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un de ces développements, et soit
une racine
ième de l’unité.