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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

Si l’équation (5) a toutes ses racines distinctes, nous aurons $n$ solutions de cette forme linéairement indépendantes, et la solution générale s’écrira

(7)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{\alpha _{2}t}\lambda _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {C} _{n}e^{\alpha _{n}t}\lambda _{n,1}(t),\\x_{2}&=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,2}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{\alpha _{2}t}\lambda _{2,2}(t)+\dots +\mathrm {C} _{n}e^{\alpha _{n}t}\lambda _{n,2}(t),\\..&\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\x_{n}&=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,n}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{\alpha _{2}t}\lambda _{2,n}(t)+\dots +\mathrm {C} _{n}e^{\alpha _{n}t}\lambda _{n,n}(t).\end{aligned}}\right.$

Les $\mathrm {C}$ sont des constantes d’intégration, les $\alpha$ sont des constantes et les $\lambda$ sont des séries trigonométriques absolument et uniformément convergentes.

Voyons maintenant ce qui arrive quand l’équation (5) a une racine double, par exemple quand $\alpha _{1}=\alpha _{2}.$ Reprenons la formule (7), faisons-y

$\mathrm {C} _{3}=\mathrm {C} _{4}=\dots =\mathrm {C} _{n}=0,$

et faisons-y tendre $\alpha _{2}$ vers $\alpha _{1}.$ Il vient

$x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} _{1}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\lambda _{2,1}(t)\right]$

ou, en posant

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}&=\mathrm {C} '_{1}-\mathrm {C} _{2},\\\mathrm {C} _{2}&={\frac {\mathrm {C} '_{2}}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}},\end{aligned}}$

il viendra

$x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} '_{1}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} '_{2}{\frac {e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\lambda _{2,1}(t)-\lambda _{1,1}(t)}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}}\right]\cdot$

Il est clair que la différence

$\lambda _{2,1}(t)-\lambda _{1,1}(t)$

s’annulera pour $\alpha _{2}=\alpha _{1}.$ Nous pourrons donc poser

$\lambda _{2,1}(t)=\lambda _{1,1}(t)+(\alpha _{2}-\alpha _{1})\lambda '(t).$

Il vient ainsi

$x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} '_{1}\lambda _{1,1}+\mathrm {C} '_{2}\lambda _{1,1}{\frac {e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}-1}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}}+\mathrm {C} '_{2}\lambda '(t)e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\right],$

et à la limite (pour $\alpha _{2}=\alpha _{1}$),

$x_{1}=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,1}+\mathrm {C} '_{2}e^{\alpha _{1}t}\left[t\lambda _{1,1}+\lim \lambda '(t)\right].$