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CHAPITRE II.
tels que si l’on pose
![{\displaystyle \theta _{1,1}(t)=\mathrm {B} _{1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {B} _{2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {B} _{n}\psi _{n,1}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfc39ddde95a308f790dbd46836978ebfa80fa5)
et de même
![{\displaystyle \theta _{1,i}(t)=\mathrm {B} _{1}\psi _{1,i}(t)+\mathrm {B} _{2}\psi _{2,i}(t)+\dots +\mathrm {B} _{n}\psi _{n,i}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c86b4e55a4803a13362f9d5759f9abcd2eb3c3)
on ait
![{\displaystyle \theta _{1,1}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}\theta _{1,1}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367b7da2cf84419a978e0769bcff6975bcd8a6d4)
et de même
![{\displaystyle \theta _{1,i}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}\theta _{1,i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0603dbfefe82409d12d63f327006394ff92e7fb2)
Posons
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=e^{2\alpha _{1}\pi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d186446f9e97c636c35fb38537700865f8fa379a)
il viendra
![{\displaystyle e^{-\alpha _{1}(t+2\pi )}\theta _{1,1}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}e^{-2\alpha _{1}\pi }e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)=e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77a8b9804ca7e133e4d948b7a88d1df89e77c2e)
Cette équation exprime que
![{\displaystyle e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80fd9b6dd7b17b6eb6c364df51bc142e6bc6a84)
est une fonction périodique que nous pourrons développer en une
série trigonométrique
![{\displaystyle \lambda _{1,1}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cfa94895d6acd90357a8f399074db5a4e46917)
Si les fonctions périodiques
sont analytiques, il en sera
de même des solutions des équations différentielles (2) et de
La série
sera donc absolument et uniformément
convergente.
De même
![{\displaystyle e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bee242d78b57535905df55ae150752b9f38976)
sera une fonction périodique que l’on pourra représenter par une
série trigonométrique
![{\displaystyle \lambda _{1,i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5ef5cf73896c3d4266bb3bfbc275ff8e30ad54)
Nous avons donc une solution particulière des équations (2)
qui s’écrit
(6)
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À chaque racine de l’équation (5) correspond une solution de
la forme (6).