Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/74

62

CHAPITRE II.

Nous avons, d’ailleurs, à calculer les valeurs de $x'$ et de $y'$ pour $t=t_{0}+\tau ,$ c’est-à-dire pour $t'=t_{0}.$

Nous retombons donc sur le cas étudié au numéro précédent, et nous voyons que $x$ et $y$ sont développables suivant les puissances de $x_{0},$ $y_{0},$ $\tau$ et $\mu ,$ pourvu que les modules de ces quantités soient assez petits. Il y a à cela une seule condition, c’est que la solution particulière, pour laquelle les valeurs initiales de $x$ et de $y$ sont nulles, et dans laquelle on suppose de plus $\mu =0,$ ne passe par aucun point singulier.

Appliquons cela aux équations du n^o 13

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

où

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\dots$

et où $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas des $y.$

$\mathrm {F}$ sera une fonction des $x$ et des $y$ qui ne cessera d’être holomorphe qu’en certains points singuliers. Il pourra se faire que, si l’on donne aux $x$ les valeurs suivantes

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}^{0},&&\dots ,&x_{p}&=x_{p}^{0},&\end{aligned}}$

la fonction $\mathrm {F}$ reste holomorphe pour toutes les valeurs des $y.$

Imaginons alors que l’on se propose le problème suivant :

Envisageant la solution particulière, telle que, pour $t=0,$ on ait

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0}+\xi _{1},&x_{2}&=x_{2}^{0}+\xi _{2},&&\dots ,&x_{p}&=x_{p}^{0}+\xi _{p},\\y_{1}&=y_{1}^{0}+\eta _{1},&y_{2}&=y_{2}^{0}+\eta _{2},&&\dots ,&y_{p}&=y_{p}^{0}+\eta _{p},\end{aligned}}$

et considérant en particulier les valeurs des variables pour

$t=t_{0}+\tau ,$

développer ces valeurs suivant les puissances de $\mu ,$ de $\tau ,$ des $\xi$ et des $\eta .$

Ce développement sera possible ; en effet, si l’on fait à la fois

$\mu =\tau =\xi _{i}=\eta _{i}=0$

la solution particulière envisagée se réduit à

$x_{i}=x_{i}^{0},\qquad y_{i}=n_{i}t+y_{i}^{0}$